МОЯ ТВОРЧЕСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ

          " Каждая цивилизация в определенном возрасте имеет возможность возвысить, или разрушить себя. Если делается выбор в пользу возвышения, то возникает импульс, позволяющий появиться учениям об утерянных законах сущего".    ( Высший разум, ченнелинг).      
                                                                            М.И. Беляев ©

Точные значения триггеров

  1. Таблица точных значений Trig
  2. Все тригональные функции на одной диаграмме
  3. Триггерные функции углов вне диапазона от 0 ° до 90 °
  4. Узоры
  5. Шаблон √ 2 ± √n
  6. Модель √ 2 ± Фи
  7. Доказательств
  8. 36 ° и 54 °, 18 ° и 72 °
  9. 15 ° и 75 °
  10. Ailles Rectangle для 15 ° и 75 °
  11. Еще один прямоугольник на 22,5 °
  12. Диаграмма, чтобы связать много углов и Phi
  13. Вы делаете математику ...
  14. Другие углы с точными выражениями триггеров с квадратными корнями
  15. сращивание
  16. Накладывая
  17. Мы знаем все углы?
  18. Формула π / 17
  19. Формула π / 15
  20. Trig Calculator с использованием десятичных чисел любой длины
  21. Рекомендации

Эта страница о тригонометрических функциях синуса, косинуса и тангенса, о том, что они из себя представляют и как найти точные значения многих углов.

Калькуляторы и другие эффекты на этой странице требуют JavaScript, но вы, кажется, отключили JavaScript (он отключен) в этом браузере.
Перейдите к пункту «Настройки» или «Свойства» для этого браузера и включите его, а затем перезагрузите эту страницу.

Какие углы имеют точное выражение для их синусов, косинусов и касательных? Возможно, вы знаете, что cos (60 °) = 1/2 и sin (60 °) = √3 / 2, а также tan (45 °) = 1, но 30, 45 и 60 - это единственные углы до 90 ° с формула для их значений триггера? Нет! Есть намного больше, но не все углы имеют точные выражения, включающие не более чем квадратные корни.
Какие углы делают? Какие шаблоны присутствуют в этих выражениях? Эта страница показывает выражения для многих углов и даже решает полную проблему, какие углы делают, а какие не имеют таких точных выражений триггера.

Таблица точных значений Trig

которые можно выразить как простые термины, включающие квадратные корни. a cos (a)
грех (б) загар (а)
кроватка (б) б радианы ° ° радианы 0 0 1 0 90 π
2 π
24 7.5 `(sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt 3)))) / 2`` sqrt 6 - sqrt 3 + sqrt 2 - 2`
`= (sqrt 2 - 1) (sqrt 3 - sqrt 2)` 82,5 11 π
24 π
12 15 `(sqrt 6 + sqrt 2) / 4 = sqrt (1/2 + (sqrt 3) / 4) = sqrt ((4+ sqrt 12) / 8)`
`2-sqrt 3`
75 5 π
12 cos2 (15 °) = [0; 1,13, 1,12] tan (15 °) = [0; 3, 1, 2]
tan2 (15 °) = [0; 13, 1, 12] π
10 18 `sqrt (10 + 2 sqrt 5) / 4 = sqrt ((5 + sqrt 5) / 8)`
`sqrt (1- (2 sqrt 5) / 5)` 72 2 π
5 cos2 (18 °) = [0; 1, 9, 2, 8] tan2 (18 °) = [0; 9, 2,8] π
8 22,5 `(sqrt (2 + sqrt 2)) / 2 = sqrt ((4 + sqrt 8) / 8)` `sqrt 2 - 1` 67,5 3 π
8 cos2 (22,5 °) = [0; 1, 5, 1, 4] tan (22,5 °) = [0; 2]
tan2 (22,5 °) = [0; 5, 1, 4] π
6 30 `(sqrt 3) / 2`` (sqrt 3) / 3` 60 π
3 cos (30 °) = [0; 1, 6, 2, 6]
cos2 (30 °) = [0; 1,3] загар (30 °) = [0; 1, 1, 2]
tan2 (30 °) = [0; 3] π
5 36 `(sqrt 5 + 1) / 4 = sqrt ((3 + sqrt 5) / 8)` `sqrt (5 - 2 sqrt 5)` 54 3 π
10 cos (36 °) = [0; 1, 4]
cos2 (36 °) = [0; 1, 1, 1, 8, 2] tan2 (36 °) = [0; 1, 1, 8, 2] 5 π
24 37,5 `sqrt (2 + sqrt (2 - sqrt 3)) / 2` `sqrt 6 + sqrt 3 - sqrt 2 - 2`
`= (sqrt 2 + 1) (sqrt 3 - sqrt 2)` 52,5 7 π
24 π
4 45 `sqrt 2 / 2`` 1` 45 π
4 cos (45 °) = [0; 1, 2]
cos2 (45 °) = [0; 2] 7 π
24 52,5 `(sqrt (2 - sqrt (2 - sqrt 3)))) / 2`` sqrt 6 - sqrt 3 - sqrt 2 + 2`
`= (sqrt 2 - 1) (sqrt 3 + sqrt 2)` 37,5 5 π
24 3 π
10 54 `(sqrt (10 - 2 sqrt 5)) / 4 = sqrt ((5 - sqrt 5) / 8)` `sqrt ((5 + 2 sqrt 5) / 5)` 36 π
5 cos2 (54 °) = [0; 2, 1, 8, 2] tan2 (54 °) = [1; 1, 8, 2] π
3 60 `1 / 2`` sqrt 3` 30 π
6 cos (60 °) = [0; 2]
cos2 (60 °) = [0; 4] загар (60 °) = [1; 1, 2]
tan2 (60 °) = 3 3 π
8 67,5 `sqrt (2-sqrt 2) / 2 = sqrt ((4-sqrt 8) / 8)` `1 + sqrt 2` 22,5 π
8 cos2 (67,5 °) = [0; 6, 1, 4] tan (67,5 °) = [2; 2]
tan2 (67,5 °) = [5; 1, 4] 2 π
5 72 `(sqrt 5 - 1) / 4 = sqrt ((3-sqrt 5) / 8)` `sqrt (5 + 2 sqrt 5)` 18 π
10 cos (72 °) = [0; 3, 4]
cos2 (72 °) = [0; 10, 2, 8] tan2 (72 °) = [9; 2, 8] 5 π
12 75 `(sqrt 6 - sqrt 2) / 4 = sqrt (1/2 - sqrt 3/4) = sqrt ((4 - sqrt 12) / 8)` `2 + sqrt 3` 15 π
12 cos2 (75 °) = [0; 14, 1, 12] загар (75 °) = [3; 1, 2]
tan2 (75 °) = [13; 1, 12] 11 π
24 82,5 `sqrt (2 - sqrt (2 + sqrt 3)) / 2`` sqrt 6 + sqrt 3 + sqrt 2 + 2`
`= (sqrt 2 + 1) (sqrt 3 + sqrt 2)` 7.5 π
24 π
2 90 `0`` oo` 0 0 Продолжение дроби [a; b, c, d, ...] является сокращенной записью для
и периодическая непрерывная дробь [а; b, c, d, e, d, e, d, e, ...] записывается как [a; б, в, д, е]
где любое число перед точкой с запятой (;) является целой частью, а линия над числами указывает часть, которая повторяется навсегда в конце.
Увидеть Введение в продолжение фракций ,

Все тригональные функции на одной диаграмме

Вот это действительно здорово Mathematica Вот это действительно здорово   Mathematica   демонстрация взаимосвязи всех 6 тригонометрических функций на одной интерактивной диаграмме демонстрация взаимосвязи всех 6 тригонометрических функций на одной интерактивной диаграмме. Вот статичное изображение, которое в любом случае является полезной диаграммой:

Тем не менее, диаграмма полезна для просмотра того, что измеряется шестью функциями, но она не дает никаких признаков знаков значений.
Знаки выбраны, чтобы сделать формулу триггера увидеть ниже последовательный для всех углов. Кроме того, в следующем разделе показаны их графики, а из основного графика SINE следуют все остальные.
Функция синуса имеет много применений в механике (например, движения вращающихся объектов), электронике (например, переменный электрический ток и электромагнитные волны), ....

Триггерные функции углов вне диапазона от 0 ° до 90 °

Вот диаграммы угла в каждом из четырех квадрантов круга, снимки с превосходного Как связаны функции тригонометрии из демонстрационного проекта Wolfram C. Ormullion. Нажмите в квадранте, чтобы увидеть типичный угол и все 6 тригонометрических функций.
Вот еще одна визуализация с помощью графиков: хороший способ запомнить SIGN для использования для функций в каждом квадранте состоит в том, что все они положительны в первых квадрантах (0-90 °), но в других квадрантах только один из грехов, cos или tan положительны в других секторах:
Синь
Все еще
C osine
Вы можете видеть, что он написан внутри большого знака PLUS (+), и единственная функция (и), имеющая знак плюс со своими значениями в этом квадранте, находится в порядке угловой стороны:
« Все , время, тосканец», и вы можете вспомнить это с глупой рифмой « Все, что угодно».

Но почему бы не написать свою СОБСТВЕННУЮ фразу, чтобы запомнить буквы ASTC ?
Если это глупо, то вы, скорее всего, запомните это!

Как только вы помните знак для этих трех функций, вы можете использовать тот же знак для их взаимных значений Cosecant, Secant и Cotangent.

Все основные формулы здесь отвечают на графике SINE следующим образом: Все основные формулы здесь отвечают на графике SINE следующим образом:

  • Синус угла определяется вертикальной высотой точки, когда она вращается вокруг единичной окружности (то есть ее радиус равен 1), измеренной от горизонтальной линии, проходящей через центр окружности. Поэтому оно не может быть больше 1 или меньше -1.
  • косинус угла определяется горизонтальным расстоянием точки, когда оно вращается вокруг единичного круга, измеренного от вертикальной линии через центр круга. Это тоже должно быть в диапазоне от -1 до 1.
  • Из диаграммы легко увидеть, что графики синусов и косинусов имеют одинаковую форму , но смещены на четверть оборота (90 °). В математических терминах мы бы сказали, косинус (х) = синус (90 ° + х).
  • Тангенс угла измеряет отношение синуса к косинусу и может принимать любое значение.
    При кратности 90 ° оно становится бесконечным или отрицательно бесконечным.

Нажмите на диаграмму, чтобы перейти к Mathematica Демонстрационный сайт для бесплатного формата вычислимых документов ( CDF ) версия, которая воспроизводится в бесплатном проигрывателе CDF и позволяет оживить анимацию.
Демонстрация синуса и косинуса, проводимая компанией B Atwood и S Wagon.

Углы могут быть измерены несколькими типами единиц измерения.

  • Часто это градусы с полным поворотом, разделенным на 360 градусов
  • Если мы определяем синус и косинус по расстояниям (или координатам) точки на единичной окружности, мы также можем определить угол по расстоянию и по этой окружности: расстояние по окружности, по которому точка проходит в тьюринге через этот угол. Окружность единичного круга составляет 2 π. Эта мера называется радианой .

Вот конвертер для преобразования между ними:

Узоры

Простая модель квадратного корня

Эрнесто Ла Орден из Мадрида указал на следующий аккуратный способ соединения и запоминания самого простого из синусов (косинусов): ° рад косинус синус ° рад 0 0 90 π
2 30 π
6 60 π
3 45 π
4 45 π
4 60 π
3 30 π
6 90 π
2 0 0

Шаблон √ 2 ± √n

Эрнесто Ла Орден также поместил много углов в эту схему: ° косинус синус ° 90 0 75 15 67,5 22,5 60 30 45 45 30 60 22,5 67,5 15 75 0 90

Модель √ 2 ± Фи

° косинус / й> синус ° 72 $$ \ frac {\ sqrt {2 - \ Phi}} {2} $$ 18 54 $$ \ frac {\ sqrt {2 - \ varphi}} {2} $$ 36 36 $$ \ frac {\ sqrt {2 + \ varphi}} {2} $$ 54 18 $$ \ frac {\ sqrt {2 + \ Phi}} {2} $$ 72 \ (Phi = \ Phi = \ frac {\ sqrt {5} + 1} {2} = 1.618033 ... = 1 + \ varphi \)
\ (phi = \ varphi = \ frac {\ sqrt {5} - 1} {2} = 0.618033 .. = \ Phi - 1 \)
\ (Phi ^ {\, 2} = \ Phi ^ 2 = \ frac {3+ \ sqrt {5}} {2} = 2.618033 .. \)
\ (phi ^ {\, 2} = \ varphi ^ 2 = \ frac {3 - \ sqrt {5}} {2} = 0.381966 ... \) Мы можем расширить предыдущий шаблон, включив в него множество углов, которые являются простыми дробями из π, если мы используем золотое сечение значения Phi (\ (\ Phi \)) и phi (\ (\ varphi \)): cos (9 ° = π / 20) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ Phi}} \) = sin (81 °) cos (18 ° = π / 10) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ varphi}} = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ Phi} \) = sin (72 °) cos (27 ° = 3 π / 20) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ sqrt {2 - \ varphi}} \) = sin (63 °) cos (36 ° = π / 5) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ sqrt {2 - \ Phi}} = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ varphi} = \ frac {\ Phi} {2} \) = sin (54 °) cos (45 ° = π / 4) = \ (\ frac {1 } {2} \ sqrt {2 \ pm \ sqrt {2 - 2}} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \) = sin (45 °) cos (54 ° = 3 π / 10) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {2 - \ Phi}} = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ varphi} \) = sin (36 °) cos (63 ° = 7 π / 20) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {2 - \ varphi}} \) = sin (27 °) cos (72 ° = 2 π / 5) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {2 + \ varphi}} = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ Phi} = \ frac {\ varphi } {2} \) = sin (18 °) cos (81 ° = 9 π / 20) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {2 + \ Phi}} \) = грех (9 °) Этот шаблон использует тождества

\ (phi = \ varphi = \ sqrt {2 - \ Phi} \) и \ (Phi = \ Phi = \ sqrt {2 + \ varphi} \)

Здесь есть более всеобъемлющий шаблон, если мы используем все следующие значения под самым внутренним квадратным корнем:

\ (2, \ sqrt {3}, \ Phi, 1, \ varphi, 0, - \ varphi, -1, - \ sqrt {3}, - \ Phi, -2 \)
или же
2, 1,732 ..., 1,618 ..., 1, 0,618 ..., 0, -0,618 ..., -1, -1,618 ..., -1,732 ..., -2

вместе с формулой полуугольника для cos (A / 2) (см. ниже), начиная с cos (36) = Phi / 2 и cos (72) = phi / 2. Схема продолжается с косинусами 4,5 °, 13,5 ° и т. Д. И включает в себя следующие углы, которые также являются долями π: cos (0) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + 2}} = 1 \) sin (90 °) cos (7,5 ° = π / 24) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {3} }} \) sin (82,5 °) cos (37,5 ° = 5 π / 24) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 + \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}} \) sin (52,5 °) cos (45 ° = π / 4) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 \ pm \ sqrt {2 - 2}} = \ frac {\ sqrt {2}} {2 } \) sin (45 °) cos (52,5 ° = 7 π / 24) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}} \) sin ( 37,5 °) cos (82,5 ° = 11 π / 24) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {2 + \ sqrt {3}}} \) sin (7,5 °) cos ( 90 ° = π / 2) = \ (\ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {2 + 2}} = 0 \) sin (0 °)

Доказательств

30 ° 45 ° и 60 °

Вот два простых треугольника, которые дают нам формулы для значений триггера этих трех углов:

36 ° и 54 °, 18 ° и 72 °

Для 36 ° и 72 ° нам потребуется дополнительная работа, основанная на геометрии правильного пятиугольника, который имеет углы 36 ° и 72 °. Если стороны пятиугольника имеют длину 1, диагонали имеют номер золотого сечения длиной Phi, где:
Для 36 ° и 72 ° нам потребуется дополнительная работа, основанная на геометрии правильного пятиугольника, который имеет углы 36 ° и 72 ° Верхний треугольник с углами 72 °, 72 ° и 36 ° и сторонами длиной 1, Phi и Phi показывает значения триггера для 18 ° и 72 °.

Нижний треугольник с углами 36 °, 36 ° и 108 ° и сторонами длиной 1, 1 и Phi показывает значения триггера 36 ° и 54 °.

Нижний треугольник с углами 36 °, 36 ° и 108 ° и сторонами длиной 1, 1 и Phi показывает значения триггера 36 ° и 54 °

15 ° и 75 °

Если мы возьмем треугольник слева, мы можем рассчитать длину третьей стороны, используя формулу косинуса . Если в треугольнике со сторонами a, b и c мы знаем обе стороны b и c, а также угол A между сторонами b и c, то мы можем вычислить длину третьей стороны a следующим образом:

Ailles Rectangle для 15 ° и 75 °

Альтернативный (более простой) метод для синуса и косинуса 15 ° и 75 ° найден в прямоугольнике Эйлла (названного в честь учителя средней школы Онтарио). Его легко запомнить, потому что он двухцветный) 45-градусные прямоугольные треугольники, прикрепленные по бокам белого треугольника 30-60-90, и прямоугольник, дополненный желтым треугольником 15-75-90 на гипотенузе 30-60- 90 треугольник, как показано здесь.
30-60-90 сторон "как обычно", а именно `1, 2` и` √3`. Из двух 45-45-90 треугольников довольно легко увидеть, что `x` это` sqrt 3 / sqrt 2`, а `y` это` 1 / sqrt 2`, из которого мы можем прочитать синусы и косинусы 15 ° и 75 °. Однако мы получим более хорошие числа на треугольниках, если расширим все стороны с коэффициентом `sqrt 2`. Нажмите на кнопки под изображением, чтобы увидеть (расширенные) размеры.

Еще один прямоугольник на 22,5 °

Триг Формулы

Многие симметрии и модели очевидны в таблице. Они отражают некоторые основные особенности, такие как:

Если мы знаем значение функции триггера под двумя углами `a` и` b`, мы можем определить значения функции триггера их суммы и разности, используя следующие тождества:

`Sin (а ​​+ б) = Sin (а) соз (б) + соз (а) Sin (б)`
`cos (a + b) = cos (a) cos (b) -sin (a) sin (b)` `tan (a + b) = (tan (a) + tan (b)) / (1-tan (а) tan (b)) `` sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b) `
`cos (ab) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)` `tan (ab) = (tan (a) -tan (b)) / (1 + tan (a) tan (б)) `

Если два угла одинаковы (то есть `a = b`), мы получаем синусы и косинусы двойного угла. Перестановка этих формул дает формулу для греха или косинуса половины угла:

`sin (2a)` `= 2sin (a) cos (a)` `sin (a / 2) = sqrt ((1-cos (a)) / 2)` `cos (2a)` `= 1-2sin ^ 2 (a) `` cos (a / 2) = sqrt ((1 + cos (a)) / 2) `` = cos ^ 2 (a) -sin ^ 2 (a) `` = 2 cos ^ 2 (a) -1` `2 csc (2a) = tan (a) + cot (a)` `tan (a / 2) = (1-cos (a)) / sin (a) = sin (a) / (1 + соз (а)) `
Следующее изменяет произведение тригонометрических функций на сумму или разность и наоборот: `sin (a) + sin (b)` `= 2 cos ((ab) / 2) sin ((a + b) / 2) `` cos (a) + cos (b) `` = 2 cos ((ab) / 2) cos ((a + b) / 2) `` sin (a) - sin (b) `` = 2 sin ( (ab) / 2) cos ((a + b) / 2) `` cos (b) - cos (a) `` = 2 sin ((ab) / 2) sin ((a + b) / 2) `

Диаграмма, чтобы связать много углов и Phi

Страница Роберта Грея на Координаты для многих регулярных тел имеет удивительную диаграмму внизу, которая соотносит фи с углами 18 °, 30 °, 36 °, 45 °, 54 °, 60 ° и 72 ° в соответствии с их трехмерными координатами в твердых телах.

Каждый из этих углов измеряется от самой верхней точки круга, когда вертикальная линия поворачивается на этот угол.
Каждая линия от базовой точки встречает окружность в точке, высота которой составляет 1 (72 °), 1 + Фи (60 °), 2 + Фи (54 °), 2 + 2 Фи (45 °), 2 + 3 Фи (36 °), 3 + 3 Фи (30 °) или 3 + 4 Фи (18 °).

Посмотрите на его страницы для получения более интересной информации о 120 трехмерных телах, из которых мы также рассмотрим наиболее симметричные 5 на нашем следущая страница ,

Вы делаете математику ...

  1. Предположим, что начало круга (0,0) и его радиус 2 + 2 Фи. Найти уравнение круга.
  2. Используйте свой ответ на предыдущий вопрос, чтобы найти координаты каждой из точек на окружности с указанными углами.
  3. Вычислите длины каждой из красных линий от самой нижней точки до точек, показанных на круге.
  4. Из любых двух точек A и B на окружности угол AOB в центре круга, O, в два раза больше угла в любой точке окружности в том же секторе.

    На диаграмме все красные углы на окружности равны;
    красные углы - половина синего угла AOB в центре;
    красные углы находятся в той же точке круга, что и центр круга, поэтому они не могут находиться в сером секторе.

    Используйте приведенную выше теорему, чтобы найти три Круг Роберта Грея непосредственно перед этим разделом «Вы делаете математику ...», где линия от центра составляет угол с вертикалью
    1. 2 × 18 = 36 °
    2. 2 × 30 = 60 & deg;
    3. 2 × 36 = 72 °

Другие углы с точными выражениями триггеров с квадратными корнями

Есть ли другие углы с простым точным выражением их косинуса или синуса?
Ну, все зависит от того, что вы подразумеваете под простым !

Карл Фридрих ГАУСС (177 - 1855) рассмотрел аналогичную проблему, которая отвечает на этот вопрос. Он исследовал, существует ли метод построения правильного многоугольника из n сторон, используя только пару компасов (для рисования окружностей) и прямой край (линейка без разметки). Мы знаем, что можем построить правильный многоугольник для всех значений n = 3, 4, 5, 6, 8 и 10.

сращивание

Существует простой геометрический способ использования компасов для деления угла на два (деление угла на части). Таким образом, все углы в правильном n-гоне можно разделить на два, чтобы получить правильный 2-угольник. Мы можем повторить процесс, чтобы получить 4n-гон, 8n-гон и вообще 2kn-гон для любого k, если у нас есть метод построения регулярного n-гона.

Приведенный выше раздел «Формула триггера» содержит формулу для косинуса половины угла в терминах косинуса (целого) угла:

`cos (A / 2) = sqrt ((1 + cos (A)) / 2) = (sqrt (2 + 2 cos (A))) / 2`

Как указал мне Митч Уайетт, поскольку мы знаем, что cos (90 °) равно 0, а 90 ° - это π / 2 радиана, мы можем использовать его для нахождения косинуса половины этого угла (45 ° или π / 4 радиана) и затем снова разделить этот угол пополам и так далее. Каждый раз, когда мы вводим еще один квадратный корень, мы получаем каскадную или вложенную последовательность квадратных корней: `cos (pi / 4) =` `(sqrt 2) / 2`
`cos (pi / 8) =` `(sqrt (2 + sqrt 2)) / 2`
`cos (pi / 16) =` `(sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt 2))) / 2`
`cos (pi / 32) =` `(sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt (2 + sqrt 2)))) / 2` Однако эта страница посвящена синусам и косинусам, которые имеют более простые выражения, поэтому мы не будем развить это, разве что сказать, что это показывает, как мы всегда можем найти точное выражение для синуса (или косинуса) `1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2 ^ n` любого угол, для которого мы имеем точное выражение синуса (или косинуса).

Накладывая

Если мы построим правильный треугольник (3 стороны) и с одним и тем же центром круга, построим три правильных пятиугольника (5 сторон), каждый из которых будет иметь одну общую вершину с треугольником, у нас будет 15 вершин правильного 15-угольника.
Это показано справа с тремя пятиугольниками синего цвета на одном круге, каждый из которых имеет общую вершину с красным треугольником, а обычный 15-угольник отображается желтым цветом.
Путем наложения двух правильных многоугольников, подобных этому, мы можем построить правильный P × Q-угольник (если P и Q не имеют общих множителей, иначе более одной вершины каждого из них будет совпадать).

Мы знаем все углы?

Все это было известно в Евклид Время около 300 г. до н. Так что насчет 7-го и 9-го? Можно ли найти синусы и косинусы всех кратных 1/7 и 1/9 оборота в точном выражении (используя квадратные корни)? А как насчет 11-го и 12-го и т. Д.?

В последующие 2000 лет никто не нашел точного геометрического метода для 7-гонов или 9-гонов, но также никто не доказал, что невозможно построить такие правильные многоугольники.

затем CF Gauss полностью решил проблему, когда он был студентом в Геттингене между 1795 и 1798 годами. Гаусс нашел условия на n и его основные факторы для решения двух эквивалентных задач:

  • рисование правильного n-стороннего многоугольника, используя только прямой край и компас и
  • выражая cos и sin 360 / n °, используя только квадратные корни.

Если мы рассмотрим n как 2ap1bp2c ..., то есть a, b, c, ... - степени простых множителей n: 2, p1, p2, ... (степень простого числа равна n, если она не является фактор п), то обе проблемы разрешимы, когда

  • b, c, ... и все силы, кроме a , степень 2 , должна быть 1, и
  • простые числа> 2, которые являются множителями n (то есть p1, p2, ...), должны иметь форму 22k + 1 для некоторого числа k.

Обе проблемы разрешимы для этих значений n и только для этих значений.

Простые числа вида 22k + 1 называются Ферма простые числа , Начинается серия чисел вида 22к + 1

220 + 1 = 3, 221 + 1 = 5, 222 + 1 = 17, 223 + 1 = 257, 224 + 1 = 65537, ...

Однако не каждое число вида 22k + 1 является простым - и только простые числа мы должны иметь как множители n.
Следующий 225 + 1 равен 4294967297 и имеет коэффициент 641, поэтому он не прост . На самом деле, мы не знаем, есть ли еще какие-либо простые числа этой формы, кроме первых 5, перечисленных выше.

Такие числа n в форме, описанной Гауссом, следующие: по одному на строку, каждое из которых является произведением некоторых простых чисел Ферма (но каждое простое не более одного раза), за которыми следуют его кратные два. Для любого числа в таблице его двойник также находится в таблице:

2 4 8 16 32 64 128 256 ... 3 6 12 24 48 96 192 ... 5 10 20 40 80 160 ... 3 × 5 = 15 30 60 120 240 ... 17 34 68 136 272 ... 3 × 17 = 51 102 204 408 ... 5 × 17 = 85 170 340 680 ... 3 × 5 × 17 = 255 510 1020 2040 ... 257 514 1028 2056 ... При заказе мы имеем

(1), 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102 ...

который Слоана A003401 ,

Нечетные термины (левый столбец, кроме 2) - это ряд

1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295

который A045544 поскольку мы не знаем больше простых чисел Ферма, кроме пятого (65537).

Некоторые интересные факты об этих нечетных числах (мы также включаем 1 здесь):

  • все эти 31 нечетное число являются делителями 225–1 = 232 - 1 = 4294967295 (см. A004729 )

Когда они записаны в двоичном коде, они все палиндромные (в точности наоборот).
Если мы продолжим этот паттерн, независимо от того, является ли 22k – 1 простым или нет, то мы обнаружим паттерн треугольника Серпинского. Это фрактал - меньшие версии самого себя содержатся во всех больших версиях. Один из способов его формирования - изобразить четность (нечетность и четность) чисел в треугольнике Паскаля, где каждое нечетное число в треугольнике Паскаля представлено черным квадратом, а каждое четное число - белым: в треугольнике Паскаля мы можем начать с верхнего ряда 0 (белый) с одним элементом 1 (нечетный, черный) в нем.
Затем для строк ниже мы можем использовать правило, согласно которому каждый элемент создается путем сложения двух элементов в строке выше:
один прямо над, а другой справа. 1 4+ 6 4 1 ↓ 1 5 10 10 5 1 На диаграммах здесь мы хотим только четность элемента (нечетного или четного), поэтому мы имеем простое правило, что если оба элемента в строке выше одинаковы цвет:
оба черные (нечетные) или оба белые (четные)
элемент будет белым (четным), если два элемента в строке выше отличаются
один нечетный, один четный
элемент черный (нечетный)

Формула π / 17

Другая малая дробь знаменателя, которую мы еще не рассмотрели, - это доказанная Гауссом формула с квадратными корнями для косинусов и синусов, кратных \ (\ frac {\ pi} {17} \) радиан.
Формулы, созданные и упрощенные с помощью Mathematica® все еще довольно сложны. Например, здесь \ (cos (\ frac {\ pi} {17}) \)
`cos (pi / 17)` `= sqrt (15 + sqrt 17 + sqrt (34 - 2 sqrt 17) + sqrt (68 + 12 sqrt 17 - 4 sqrt (170 + 38 sqrt 17)))) / (4 sqrt ( 2)) `` = 0.98297309968390177828194884485 ... `Мультипликаторы этого угла также включают вариации тех же 4 выражений, которые мы видим здесь. Каждая из четырех форм, A, B, C, D, является суммой или разностью тех же двух слагаемых.
Мы будем использовать индекс + или - в качестве сокращения для знака, используемого в каждом варианте. Вот они все:
`A _ (+) = 15 + sqrt (17)` `A _ (-) = 15 - sqrt (17)` `B _ (+) = sqrt (2) sqrt (17 + sqrt (17))` `B _ (- ) = sqrt (2) sqrt (17 - sqrt (17)) `` C _ (+) = 17 + 3 sqrt (17) `` C _ (-) = 17 - 3 sqrt (17) `` D _ (+) = sqrt (2) sqrt (85 + 19 sqrt (17)) `` D _ (-) = sqrt (2) sqrt (85 - 19 sqrt (17)) `Выражения для косинусов и знаков, кратных углам π / 17 = 33.2639222145 .. ° до 90 ° = π / 2 радиана: a √32 cos2 (a) \ (\ color {red} \ frac {\ pi} {17} \) `A _ (+) + B_ (+) + 2 sqrt (C _ (+) - D _ (+)) `\ (\ color {red} \ frac {2 \ pi} {17} \)` A _ (+) - B _ (-) + 2 sqrt (C _ (+) + D _ (+)) `\ (\ color {red} \ frac {3 \ pi} {17} \)` A _ (-) + B _ (+) + 2 sqrt (C _ (-) + D _ (-)) `\ (\ color {red} \ frac {4 \ pi} {17} \)` A _ (+) + B _ (-) - 2 sqrt (C _ (+) - D _ (+)) ` \ (\ color {red} \ frac {5 \ pi} {17} \) `A _ (-) + B _ (+) - 2 кв. (C _ (-) + D _ (-))` \ (\ color {red } \ frac {6 \ pi} {17} \) `A _ (-) - B _ (+) + 2 sqrt (C _ (-) - D _ (-))` \ (\ color {red} \ frac {7 \ pi} {17} \) `A _ (-) - B _ (+) - 2 sqrt (C _ (-) - D _ (-))` \ (\ color {red} \ frac {8 \ pi} {17} \ ) `A _ (+) - B _ (-) - 2 sqrt (C _ (+) + D _ (+))` Фу!

Следующее значение с нечетным знаменателем - π / 257, и точное выражение для cos (π / 257), использующее только квадратные корни, будет еще более сложным!

Том Эйс отметил, что об этом есть больше в главе 15 «Теории чисел Ойстейн-Руды и ее истории с 1948 года». теперь доступно как книга Дувра (1988).

Формула π / 15

Если `A _ (+) = 9 + sqrt 5`` A _ (-) = 9 - sqrt 5` `B _ (+) = sqrt (6 (5 + sqrt 5))` `B _ (-) = sqrt (6 ( 5-sqrt 5)) `тогда мы имеем 4cos2 (a) π
15 `A _ (+) + B _ (-)` 2π
15 `A _ (-) + B _ (+)` 4π
15 `A _ (+) - B _ (-)` 7π
15 `A _ (-) - B _ (+)`

Trig Calculator с использованием десятичных чисел любой длины

Вот Калькулятор Вот   Калькулятор   это позволит вам проверять все вышеприведенные результаты и даже больше, сколько угодно десятичных знаков, а также оценивать выражения и находить непрерывные дроби это позволит вам проверять все вышеприведенные результаты и даже больше, сколько угодно десятичных знаков, а также оценивать выражения и находить непрерывные дроби.
Например, чтобы проверить формулу `cos (pi / 17)` выше тип
в поле ввода выражения для оценки, а затем нажмите кнопку преобразования ( ) и получить его десятичное значение, которое равно 0.

Для других значений, таких как `cos (pi / 8)`, введите и оцените его сначала как десятичную, а затем как непрерывную дробь, показывающую, что CF равен [0; 1, 12, 7, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 20, 5, 3, 11, 1, 7, 7, 3, ...]. Даже если заглянуть в будущее для многих других терминов, здесь нет закономерности
Однако, если мы изменим выражение на Evaluate на CF, это время будет [0; 1, 5, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1, 4, ...].
Здесь есть четкая закономерность для многих терминов. Если мы удалим часть 1,4,1,4, ... и поместим ее во входные данные повторяющейся части для CF, чтобы у вас был CF [0; 1, 5, 1, 4], а затем нажмите кнопку преобразования в дробную форму ( Для других значений, таких как `cos (pi / 8)`, введите и оцените его сначала как десятичную, а затем как непрерывную дробь, показывающую, что CF равен [0;  1, 12, 7, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 20, 5, 3, 11, 1, 7, 7, 3, ) покажет `(2 + sqrt (2)) / 4` в качестве значения` cos (pi / 8) ^ 2`, поэтому мы выводим, что (в вычислительном отношении) `cos (pi / 8) = sqrt (2 + sqrt (2)) / 2`.

Таким образом, мы можем экспериментально обнаружить много таких выражений для триг-форм, используя способность этого калькулятора быстро вычислять многие десятичные разряды и (точно и точно) преобразовывать непрерывные дроби в форму `(a \ pm sqrt (b)) / c`. Тогда мы можем найти математическое доказательство того, что наши результаты действительно верны.
Измените Точность работы на 50, 100 или даже 200 dps, чтобы увидеть, сохраняются ли шаблоны с большей вычислительной точностью.

Рекомендации

  • 66.41 Некоторые тригонометрические отношения в форме Сурда Дж. М. Питерс Математическая газета Vol. 66 (1982), стр. 296-299
    хотя есть некоторые ошибки в его формулах с участием τ (наш Фи), которые исправляются в уравнениях на этой странице.
©

1996-2017 Доктор Рон Нотт 1996-2017   Доктор Рон Нотт   обновлено 30 мая 2017
обновлено 30 мая 2017

Похожие

Тригонометрические функции
... игонометрии: , Они принципиально отличаются от других функций, изученных в школе, по двум причинам: они являются периодическими, и между ними много интересных отношений, т.е.
Умножение двух чисел
... все факторы, вы получаете это продукт , Это то, что называется результатом умножения. Первый фактор также упоминается как множитель, а второй фактор - как множитель. Как умножить два числа: Вот как это выглядит: Вы должны умножить эти два числа (возьмите это). 3 · 2 первый Множитель (первое число) равен 3. Представьте, что пригласили 3 друзей на ваш день рождения. Каждая девушка получает
Один, один, другой, другой - местоимения и определители
В английском мы часто встречаем слова «один, один, другой и другой» - что они на самом деле и когда их следует использовать? Специально для вас мы подготовили статью, в которой вы узнаете все о них. В английском есть слова, которые могут иметь несколько значений.
Наконец-то пришло время подумать: Бессонный и все еще счастливый
... нако существует совершенно иное мнение. Что если бы вы могли найти это время в качестве подарка для решения действительно важных вопросов? Вместо размышлений вы
Все, что вы (возможно) не знали о числе Пи
... сть в день, дата которого, по крайней мере, в американском формате, записана как 3.14), мы празднуем День Пи. Этот странный, отмечаемый в основном в академических кругах праздник, был инициирован в 1988 году исследователем из Сан-Франциско Экспертрикс Ларри Шоу. Праздник стал набирать популярность, пока в 2009 году он не стал официальным в США - по решению Палаты представителей.
Таблица умножения
... ика таблицы умножения На странице Tabliczkamnenia.pl вы легко узнаете всю таблицу умножения. Задачи просты и понятны, так что вы можете сразу приступить к изучению таблицы умножения. Выберите одну из таблиц умножения, которую вы хотите попрактиковать, и посмотрите, как вы можете выполнить тест вовремя. Вы также можете распечатать карточки с упражнениями. Какое число вы хотите умножить? Тест по времени и диплом из таблицы умножения Игры с таблицами умножения
Таблица умножения
... все подходит вам, выберите опцию «все таблицы умножения по порядку» и попрактикуйтесь, прежде чем вернуться к случайному решению различных действий. Если вы можете умножить на разные числа, вы можете выбрать конкретные таблицы умножения для теста на то время, когда вам нужно будет предоставить решения в кратчайшие сроки. Если вы допустите ошибку, вы увидите правильный ответ в конце теста. Таким образом, вы изучите всю таблицу умножения. Испытание на время является хорошей подготовкой
Житомир.info | Департамент образования ищет директора для еще одной житомирской школы
Департамент образования объявляет конкурс на замещение вакантной должности директора общеобразовательной школы I-III ступеней № 7 имени В.В. Бражевский. Информация о конкурсе 22 ноября была опубликована на сайте Житомирской мэрии. Квалификационные требования к руководителю учреждения
Электронные кулинарные книги: теперь мы готовим?
... начала был музыкальный бизнес , который радикально изменился, когда люди научились загружать музыку в цифровом формате. Далее идут фильмы , и, как и музыка, задача киностудий - выяснить, как заставить людей платить за фильмы, которые они загружают в цифровом виде. И следующая граница - это печатные СМИ : газеты, журналы и книги. Некоторые из моих друзей - традиционные журналисты, которым платят за публикацию в газетах и ​​журналах. Всякий
Вы меняете свой телефон? Samsung хочет, чтобы вы заменили его на Galaxy S8
... смартфонов Galaxy S8 и S8 +, которая должна понравиться людям, которые меняют телефон. " Привет, красавица! Прощай старик «Это название новой акции Samsung, в соответствии с которой вы можете получить возмещение за свой старый телефон после покупки Samsung Galaxy S8 или S8 +. В рамках акции новые владельцы упомянутого Samsung получат дополнительно 250 злотых. Если вы только что купили
сколько реальных чисел на самом деле ...
... иль » - это вопросительное местоимение, хотя и не всегда, потому что оно может быть и указывает, например, сколько поляков имеет так много взглядов - поэтому, если вопросительного знака нет, вам нужно угадать, что спрашивает автор: спрашивает он или утверждает. :-) Понятие действительного числа является существительным и определяет набор, содержащий числа с характерными свойствами, которые отличают этот набор от других наборов, при этом

Комментарии

Вы когда-то занимались спортом, а теперь хотите начать все сначала или вы все еще новичок?
Вы когда-то занимались спортом, а теперь хотите начать все сначала или вы все еще новичок? Нет проблем! Вот 4 совета о том, как наконец начать заниматься спортом и оставаться мотивированным. С нетерпением ждем прекрасного ощущения себя в форме 😉 Найдите спорт, который вам нравится Если это весело, пожалуйста! Звучит логично, но многие люди выбирают спорт, который им не нравится. Не каждый бегун, но многие думают, что им нужно начать бегать. В результате
Гаргай поднимает вопрос о том, можем ли мы всегда делать правильный выбор, имеем ли мы право судить других, поскольку мы никогда не будем на их месте, мы не будем знать мотивы их действий?
Гаргай поднимает вопрос о том, можем ли мы всегда делать правильный выбор, имеем ли мы право судить других, поскольку мы никогда не будем на их месте, мы не будем знать мотивы их действий? Одно можно сказать наверняка - каждый наш выбор, все наши действия имеют последствия, как хорошие, так и плохие. И идеалы оказываются ложными, любовь не всегда побеждает, а страсти могут привести нас к гибели. Но это жизнь каждого из нас в отдельности и все вместе. К счастью, среди лепестков роз каждый
Вы можете использовать Firefox Clear с отключенной опцией - но вы все еще можете доверять приложению?
Вы можете использовать Firefox Clear с отключенной опцией - но вы все еще можете доверять приложению? Будет ли включена опция отслеживания во время обновления приложения? Вы должны дать себе ответ. Транскрипция радиопередачи на немецком радио с беседой Манфреда Клойбера и Питера Уэлчеринга задокументировано здесь , Там вы можете прочитать более подробную информацию.
Подумайте, можете ли вы двигать рукой только тогда, когда вы думаете об этом, сознательно ли вы делаете что-то конкретное?
Подумайте, можете ли вы двигать рукой только тогда, когда вы думаете об этом, сознательно ли вы делаете что-то конкретное? Ответ - нет. Наше подсознание также знает, как это сделать, и это намного лучше, чем «мы сами». Иногда вы думаете о чем-то и, хотя вы не знаете об этом, вы двигаетесь. Простой пример - многие люди считают что-то в своей памяти, «пишут» в эфире. Они не думают об этом, они не обращают на это внимание, но они делают это. Всякий раз, когда у нас возникает какая-то идея, например,
Как мы понимаем эту близость и какой уровень является настолько особенным для нас, что мы признаем его как особое событие, из которого мы считаем начало отношений?
Как мы понимаем эту близость и какой уровень является настолько особенным для нас, что мы признаем его как особое событие, из которого мы считаем начало отношений? Может ли одно событие так сильно повлиять на наш выбор, подход к отношениям? Сайт знакомств MyDwoje он изучил более 700 ответов мужчин и женщин в исследовании « Что для вас впервые? ». Посмотрите показания знакомств и узнайте о самых особенных моментах в их жизни.
Не могли бы вы рассказать нам, как вы начали свой путь в медицине и почему вы выбрали эту специальность?
Не могли бы вы рассказать нам, как вы начали свой путь в медицине и почему вы выбрали эту специальность? Мои родители не доктора, как многие мои коллеги. Никто в моей семье и родственниках не закончил медицинский университет , Тем не менее, моя мама имеет большой вклад. Когда я был молодым, как и большинство детей, я «слушал» кукол с гарнитурой. Моя мама постоянно говорила мне, насколько хороша эта профессия,
Вы бы подписались, если бы это была платная модель, или вы предпочитаете рекламодателей, которые могут быть бесплатными?
Вы бы подписались, если бы это была платная модель, или вы предпочитаете рекламодателей, которые могут быть бесплатными? Или ты держишься в ожидании следующей большой вещи? И если да, какие функции вы хотели бы видеть в устройстве или приложении? Или вы просто один из тех людей, которые никогда не позволят поделиться своей кухней с чем-либо, кроме обычной печатной поваренной книги? Я хотел бы услышать ваши мысли ...
И вы можете себе представить, что если бы вы жили десятки тысяч лет назад, вы, вероятно, не знали бы своих бабушку и дедушку?
И вы можете себе представить, что если бы вы жили десятки тысяч лет назад, вы, вероятно, не знали бы своих бабушку и дедушку? По разным причинам (включая несчастные случаи, нелеченные заболевания) люди жили намного короче. Каким был бы наш мир без бабушек и дедушек? Бабушки, дедушки и бабушки являются символом тепла, добра и любви для многих из нас. Итальянская пословица «Если ничего не получится, звони бабушке» может применяться во всех странах и нациях. Бабушка и дедушка
Что украло сердца стольких женщин и почему мы все еще хотим их носить?
Что украло сердца стольких женщин и почему мы все еще хотим их носить? Кто подходит лучше всего и кто будет самым счастливым, когда получит его в подарок ? Мы советуем в сегодняшнем тексте! Миф с крыльями на заднем плане В греческой и римской мифологии крылья являются атрибутом богов, таких как Афины, Найк или посланники богов, включая Гермеса - у него была крылатая шляпа, трость и (внимание!) Каблуки! Крылья были также
Что вы должны сделать, чтобы не спать в конце года и бороться за потребителя, который в этот период готов тратить все чаще и чаще, чем обычно?
Что вы должны сделать, чтобы не спать в конце года и бороться за потребителя, который в этот период готов тратить все чаще и чаще, чем обычно? Если вы не готовы к 23 ноября, ознакомьтесь с кратким руководством, где вы узнаете, как создать и запустить эффективную SMS-кампанию, информирующую о распродаже в вашем магазине. Помните, однако, что канал SMS считается более личным и, следовательно, более эффективным в достижении сообщения. Поэтому отправьте содержимое, соответствующее конкретному получателю.
В английском мы часто встречаем слова «один, один, другой и другой» - что они на самом деле и когда их следует использовать?
В английском мы часто встречаем слова «один, один, другой и другой» - что они на самом деле и когда их следует использовать? Специально для вас мы подготовили статью, в которой вы узнаете все о них. В английском есть слова, которые могут иметь несколько значений. Хорошим

Какие углы имеют точное выражение для их синусов, косинусов и касательных?
Возможно, вы знаете, что cos (60 °) = 1/2 и sin (60 °) = √3 / 2, а также tan (45 °) = 1, но 30, 45 и 60 - это единственные углы до 90 ° с формула для их значений триггера?
Какие углы делают?
Какие шаблоны присутствуют в этих выражениях?
Мы знаем все углы?
Так что насчет 7-го и 9-го?
Можно ли найти синусы и косинусы всех кратных 1/7 и 1/9 оборота в точном выражении (используя квадратные корни)?
Что если бы вы могли найти это время в качестве подарка для решения действительно важных вопросов?
Какое число вы хотите умножить?
Вы когда-то занимались спортом, а теперь хотите начать все сначала или вы все еще новичок?
Где купить автомобильный держатель iphone 4

К сожалению, в свое время я не получил никакого образования - закончил 9 классов и все. Поэтому мне не оставалось ничего, как найти работу без образования, и устроился таксистом. Сразу же мне понадобился

Тур по Украине

В последнее время, люди выезжая отдыхать в отпусках, стараются не просто полежать в комфортной гостинице, или на теплом песке, а как можно сильнее слиться с природой, ощутить ее дух и набраться ее

Где купить бленду для фотоаппарата

Я себе заказывал здесь бленду вот для фотоаппарата, заказывал бленду EW-60C для Canon EF-S 18-55mm f/3. 5-5. 6, материал у нее пластик,

    © Беляев М.И., "МИЛОГИЯ"
           Сайт ЯВЛЯЕТСЯ ТВОРЧЕСКОЙ МАСТЕРСКОЙ АВТОРА, открытой для всех посетителей. Убедительная просьба сообщать  о всех замеченных ошибках, некорректных формулировках.
          Книги " Основы милогии ", " Милогия " могут  быть высланы в Ваш адрес наложенным платежом,
e-mail: [email protected]