Тригонометрические функции

Есть четыре черты тригонометрии: , Они принципиально отличаются от других функций, изученных в школе, по двум причинам: они являются периодическими, и между ними много интересных отношений, т.е. тригонометрические тождества , Это второе свойство делает его задачи из тригонометрии создавать проблемы - вам нужно потренироваться, чтобы понять, какой шаблон подходит для вашей задачи. Синус и косинус Функции синус и косинус имеют сходные графики но они смещены друг от друга ,

Обе функции являются периодическими, что проявляется в том, что их графики повторяются - например, если мы берем кусочек синусоидальной диаграммы на интервале , весь этот график будет получен путем перемещения этой части на кратные влево и вправо. Другими словами, графики этих функций не меняются при перемещении на кратные ,

На языке шаблонов это записывается в виде

Количество это называется основным периодом этих функций. Из этого числа Легко видеть, что любое его кратное также является периодом, т.е.

где любое целое число

Прилагательное «базовый» для периода означает, что это наименьший период, например число это также период этих функций (т.е. ), но это не базовый период.

Подсчитаем , Мы надеемся,

Тангенс и котангенс Эти функции определяются в зависимости от функции синуса и косинуса:

Из этого определения должно быть ясно, что область функции это набор чисел, для которых (То есть, ) и область функции набор чисел, для которых (То есть, ).

Графики этих функций аналогичны, но функция тангенса - это увеличение интервалов, а функция котангенса уменьшается.

Разрывы карт точно соответствуют нулям знаменателей. Обе функции имеют базовый период , что вдвое меньше функций синуса и косинуса.

Подсчитаем , Мы надеемся,

Четность и нечетность Функция косинуса является четной функцией, т.е.

Это свойство означает, что график симметричен относительно оси , Можно подумать, что это как для , не важно, считаем ли мы значение функции в или в (отсюда и эта симметрия графика).

Функция синуса является нечетной функцией, т.е.

Это свойство означает, что график симметричен относительно начала система координат. Здесь ситуация аналогична, например, из :

Подсчитаем , Мы надеемся,

Используя вышеуказанные свойства и равенство и легко вычислить, что функции тангенса и котангенса нечетны.

В случае четных / нечетных функций удобно думать, что их значения для отрицательных чисел однозначно определяются значениями для положительных чисел. Точки специальных графов. При решении различных задач с помощью тригонометрических функций нам часто приходится определять их нулевые позиции или когда синус / косинус равен , На графике эти точки соответствуют точкам пересечения с осью и холмы и синусоидальные / косинусные колодцы.

Во всех проектах ,

Нулевые позиции касательной и котангенса такие же, как синус и косинус соответственно:

Единственный способ не потеряться в этом - научиться быстро рисовать графики этих функций. В случае синуса и косинуса, помните, что график является синусоидой, проходящей через и соответственно. В случае тангенса и котангенса достаточно запомнить одну ветвь графа и запомнить, что все графики получены путем их смещения влево и вправо.

Давайте решим уравнение , Мы надеемся,

1 Что такое тригонометрические функции и почему они важны?
Причины геометрические: тригонометрические функции являются связующим звеном между длинами отрезков и мерами углов. В общем, в геометрических задачах невозможно вычислить точное значение искомого угла, но теоремы синусов и косинусов позволяют вычислить (точно!) Их тригонометрические функции.

Мы не можем рассчитать меры угловатости в треугольнике со сторонами 5,6,7. Вместо этого мы можем (из теоремы косинусов) перечислить косинусы этих углов.

Трудно не заметить, что везде мы пишем аргументы тригонометрических функций в радианах, и этому есть причина. Если мы говорим о тригонометрических функциях, мы хотим, чтобы аргументы и значения были числами, например, чтобы иметь смысл , Степени не имеют этого свойства. Для получения дополнительной информации по этому вопросу, пожалуйста, обратитесь к руководство по измерению дуги ,

Чрезвычайно важно помнить, что набор функций синуса и косинуса является диапазоном , Такие свойства не имеют тангенциальных и котангенсных функций - они могут принимать любое значение.

Я хотел бы научить вас основным значениям тригонометрических функций наизусть. Конечно, вы можете проверить их на досках, но вы должны помнить, что одним из элементов каждого экзамена является борьба со временем. Мы теряем драгоценное время на просмотр досок, и намного сложнее ошибиться, когда мы знаем, сколько это стоит чем когда мы этого не узнаем, и переписать это со стола.

Есть разные способы запомнить эти значения. Вы обязательно должны помнить, что углы синуса / косинуса и числа и , Какое число, под каким углом и какая функция? Лучше всего помнить, что для острых углов синус растет, а косинус уменьшается, поэтому оно должно быть:

То же самое касается тангенсов и котангенций этих углов. Они числа и , В какое время - как и прежде: тангенс растет, котангенс уменьшается. поэтому

Кроме того, легко запомнить

Эти уравнения легко воспроизвести, помня, что они представляют собой тригонометрические функции на половине квадрата.

8 Оказывается, также возможно точно рассчитать тригонометрические функции углов и , Они равны

Если кому-то интересно, как это сделать, пусть он посмотрит на https://www.zadania.info/3024938 ,

11 Мы сказали, как параметризовать единичный круг и как параметризовать любой круг ? Точно так же:

Легко проверить, что точки этого персонажа на самом деле находятся в этом круге.

Если мы немного изменим

мы получим параметризацию эллипса (сплющенный круг) ,

12 Итак, полностью за пределами школьной математики, это функции

Хотя они определены довольно странно, они обладают многими свойствами, аналогичными обычным тригонометрическим функциям (хотя они не являются периодическими!), Например, они встречают равенство

Откуда их имя? - они параметризуют гиперболу :

Выбор символа по первой координате соответствует выбору гиперболовой ветви. Сходство этих функций с тригонометрическими функциями довольно глубокое, но чтобы поговорить об этом, нам нужно было бы войти в мир комплексных чисел, и это тема другой истории.

13 На самом деле, существуют другие тригонометрические функции, которые не преподаются в школе, такие как секанс и козекан:

Можно представить, что когда мы их используем, есть еще больше разных вещей, которые нужно запомнить, но когда кто-то проходит через них, они могут значительно упростить регистрацию некоторых счетов (когда в знаменателе есть синусы / косинусы).

В школе все наоборот, кажется, что все указывает на то, что функция котангенса скоро исчезнет из школы.

14 Как калькулятор считает значения тригонометрических функций? Рисует маленькие треугольники, измеряет стороны и делит? Хм, не совсем. Это делается с помощью так называемого силовой ряд. Не вдаваясь в детали, получается, что, например,

В правой части этих уравнений мы имеем бесконечные суммы (то есть так называемые ранги), и следует понимать, что чем больше слов мы берем, тем лучше приближение синуса / косинуса. Важно то, что с правой стороны у нас есть только операции сложения, умножения, вычитания и деления (тригонометрических функций нет вообще!), И калькулятор работает очень хорошо. Кстати, логарифмы и элементы считаются одинаковыми.

Похожие