Обратные тригонометрические функции

1. Главные значения [ ред. | ред. код ]
2. Отношение между обратными тригонометрическими и тригонометрическими функциями [ ред. | ред. код ]
3. Нахождение углов прямоугольного треугольника [ ред. | ред. код ]
4. В компьютерной науке и инженерии [ ред. | ред. код ]
5. Числовая точность [ ред. | ред. код ]

Обратные тригонометрические функции (аркфункции) - математические функции , что является обратными к тригонометрических функций .

К обратных тригонометрических функций относят 6 функций:

• арксинус (arcsin)
• арккосинус (arccos)
• арктангенс (arctg; в иностранной литературе arctan)
• арккотангенс (arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)
• арксеканс (arcsec)
• арккосеканс (arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия тригонометринои функции с помощью префикса «арк-» (от лат. arc - дуга). Это потому, что геометрически значение обратной тригонометрической функции равно дуге единичной окружности (или угловые, стягивающий эту дугу), которая опирается на заданный отрезок.

Главные значения [ ред. | ред. код ]

Поскольку ни одна из тригонометрических функции не являются однозначной , Они имеют ограничения для того, чтобы обратные функции. Поэтому области значений обратных функций является соответствующими подмножествами области определения начальных функций.

Функцию y = arcsin (x) можно определить как такую, что sin (y) = x. Для данного действительного числа x в диапазоне -1 ≤ x ≤ 1, существует несколько (на самом деле, бесконечно много) чисел y, таких что sin (y) = x; например, sin (0) = 0, но и sin (π) = 0, sin (2π) = 0, и так далее. Если необходимо получить только одно значение, функцию можно ограничить до ее главной области. С таким ограничением, для каждого x выражение arcsin (x) будет вычислять только одно значение, которое называется главным значением [En] . Эти свойства применяется ко всем обратных тригонометрических функций.

Главные области значений обратных функций приведены в таблице.

Название Обозначение Определение Возможны действительные значения аргумента функции
область значений
( радианы ) Область значений
( градуса ) Арксинус y = arcsin x x = sin y -1 ≤ x ≤ 1 -π / 2 ≤ y ≤ π / 2 -90 ° ≤ y ≤ 90 ° арккосинус y = arccos x x = cos y -1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0 ° ≤ y ≤ 180 ° арктангенс y = arctg x x = tg y все действительные числа -π / 2 <y <π / 2 -90 ° <y <90 ° арккотангенс y = arcctg x x = ctg y все действительные числа 0 <y <π 0 ° <y <180 ° арксеканс y = arcsec x x = sec y x ≤ -1 or 1 ≤ x 0 ≤ y <π / 2 or π / 2 <y ≤ π 0 ° ≤ y <90 ° or 90 ° <y ≤ 180 ° арккосеканс y = arccosec x x = cosec y x ≤ -1 or 1 ≤ x -π / 2 ≤ y <0 or 0 <y ≤ π / 2 -90 ° ≤ y <0 ° or 0 ° <y ≤ 90 °

Дополняющий угол:

arccos ⁡ x = π 2 - arcsin ⁡ x {\ displaystyle \ arccos {x} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin {x}} arccot ​​⁡ x = π 2 - arctan ⁡ x {\ displaystyle \ operatorname {arccot} {x} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan {x}} arccsc ⁡ x = π 2 - arcsec ⁡ x {\ displaystyle \ operatorname {arccsc} {x} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ operatorname {arcsec} {x}}

отрицательный аргумент:

arcsin ⁡ (- x) = - arcsin ⁡ x {\ displaystyle \ arcsin {(-x)} = - \ arcsin {x} \!} arccos ⁡ (- x) = π - arccos ⁡ x {\ displaystyle \ arccos {(-x)} = \ pi - \ arccos {x} \!} arctan ⁡ (- x) = - arctan ⁡ x {\ displaystyle \ arctan {(-x)} = - \ arctan {x} \!} arccot ​​⁡ (- x) = π - arccot ​​⁡ x {\ displaystyle \ operatorname {arccot} {(-x)} = \ pi - \ operatorname {arccot} {x} \!} arcsec ⁡ (- x) = π - arcsec ⁡ x {\ displaystyle \ operatorname {arcsec} {(-x)} = \ pi - \ operatorname {arcsec} {x} \!} arccsc ⁡ (- x) = - arccsc ⁡ x {\ displaystyle \ operatorname {arccsc} {(-x)} = - \ operatorname {arccsc} {x} \!}

обратный аргумент:

arccos ⁡ (1 / x) = arcsec ⁡ x {\ displaystyle \ arccos (1 / x) \, = \ operatorname {arcsec} x \} arcsin ⁡ (1 / x) = arccsc ⁡ x {\ displaystyle \ arcsin (1 / x) \, = \ operatorname {arccsc} x \} arctan ⁡ (1 / x) = 1 2 π - arctan ⁡ x = arccot ​​⁡ x, if x> 0 {\ displaystyle \ arctan (1 / x) = {\ tfrac {1} {2}} \ pi - \ arctan x = \ operatorname {arccot} x, {\ text {if}} x> 0 \} arctan ⁡ (1 / x) = - 1 2 π - arctan ⁡ x = - π + arccot ​​⁡ x, if x <0 {\ displaystyle \ arctan (1 / x) = - {\ tfrac {1} {2}} \ pi - \ arctan x = - \ pi + \ operatorname {arccot} x, {\ text {if}} x <0 \} arccot ​​⁡ (1 / x) = 1 2 π - arccot ​​⁡ x = arctan ⁡ x, if x> 0 {\ displaystyle \ operatorname {arccot} (1 / x) = {\ tfrac {1} {2}} \ pi - \ operatorname {arccot} x = \ arctan x, {\ text {if}} x> 0 \} arccot ​​⁡ (1 / x) = 3 2 π - arccot ​​⁡ x = π + arctan ⁡ x, if x <0 {\ displaystyle \ operatorname {arccot} (1 / x) = {\ tfrac {3} {2}} \ pi - \ operatorname {arccot} x = \ pi + \ arctan x, {\ text {if}} x <0 \} arcsec ⁡ (1 / x) = arccos ⁡ x {\ displaystyle \ operatorname {arcsec} (1 / x) = \ arccos x \} arccsc ⁡ (1 / x) = arcsin ⁡ x {\ displaystyle \ operatorname {arccsc} (1 / x) = \ arcsin x \}

Если имеется только часть таблицы для sine:

arccos ⁡ x = arcsin ⁡ 1 - x 2, if 0 ≤ x ≤ 1 {\ displaystyle \ arccos x = \ arcsin {\ sqrt {1-x ^ {2}}}, {\ text {if}} 0 \ leq x \ leq 1} arctan ⁡ x = arcsin ⁡ x x 2 + 1 {\ displaystyle \ arctan x = \ arcsin {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + 1}}}}

с формулы половинного угла tan ⁡ θ 2 = sin ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ {\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}}} , Получим:

arcsin ⁡ x = 2 arctan ⁡ x 1 + 1 - x 2 {\ displaystyle \ arcsin x = 2 \ arctan {\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}} arccos ⁡ x = 2 arctan ⁡ 1 - x 2 1 + x, if - 1 <x ≤ + 1 {\ displaystyle \ arccos x = 2 \ arctan {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} { 1 + x}}, {\ text {if}} - 1 <x \ leq 1} arctan ⁡ x = 2 arctan ⁡ x 1 + 1 + x 2 {\ displaystyle \ arctan x = 2 \ arctan {\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}}

Отношение между обратными тригонометрическими и тригонометрическими функциями [ ред. | ред. код ]

Тригонометрические функции, аргументом которых является обратные тригонометрические функции, приведены в таблице ниже. Их можно быстро вывести из геометрии правильного треугольника, одна из сторон которого имеет длину 1, а другая сторона имеет длину x (любое действительное число принимает значения от 0 до 1), и применив Теорема Пифагора и определения тригонометрических соотношений.

производная для настоящих и комплексных значений x:

ddx arcsin ⁡ x = 1 1 - x 2 ddx arccos ⁡ x = - 1 1 - x 2 ddx arctan ⁡ x = 1 1 + x 2 ddx arccot ​​⁡ x = - 1 1 + x 2 ddx arcsec ⁡ x = 1 xx 2 - 1 ddx arccsc ⁡ x = - 1 xx 2 - 1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {d} {dx}} \ arcsin x & {} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- x ^ {2}}}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ arccos x & {} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \\ { \ frac {d} {dx}} \ arctan x & {} = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arccot} x & { } = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcsec} x & {} = {\ frac {1} {x \, {\ sqrt {x ^ {2} 1}}}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arccsc} x & {} = {\ frac {1} {x \, {\ sqrt {x ^ {2} 1}}}} \ end {aligned}}}

Только для истинных значений x:

d d x arcsec ⁡ x = 1 | x | x 2 - 1; | x | > 1 d d x arccsc ⁡ x = - 1 | x | x 2 - 1; | x | > 1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcsec} x & {} = {\ frac {1} {| x | \, {\ sqrt {x ^ {2 } 1}}}}; \ qquad | x |> 1 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arccsc} x & {} = {\ frac {1} {| x | \, { \ sqrt {x ^ {2} 1}}}}; \ qquad | x |> 1 \ end {aligned}}}

Пример нахождения производной: пусть θ = arcsin ⁡ x {\ displaystyle \ theta = \ arcsin x \!} , Получим:

d arcsin ⁡ xdx = d θ d sin ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 1 - sin 2 ⁡ θ = 1 1 - x 2 {\ displaystyle {\ frac {d \ arcsin x} {dx}} = {\ frac {d \ theta} {d \ sin \ theta}} = {\ frac {1} {\ cos \ theta}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}} } = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}

Нахождение углов прямоугольного треугольника [ ред. | ред. код ]

Обратные тригонометрические функции полезны, когда необходимо определить два прямые углы прямоугольного треугольника при известных длинах сторон треугольника. Если для прямоугольного треугольника вспомнить определение синуса, например, будет получено следующее

θ = arcsin ⁡ (a h). {\ Displaystyle \ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {\ text {a}} {\ text {h}}} \ right) \ ,.}

Часто, гипотенуза является неизвестной и перед применением функций арксинуса или арккосинуса ее необходимо рассчитать используя теорему Пифагора : A 2 + b 2 = h 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = h ^ {2}} где h {\ displaystyle h} это длина гипотенузы. Арктангенс становится полезным в такой ситуации, поскольку длина гипотенузы не является необходимой.

θ = arctan ⁡ (a b). {\ Displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {a}} {\ text {b}}} \ right) \ ,.}

Например, допустим крыша имеет высоту в 8 метров и продвигается в длину на 20 метров. Крыша образует угол θ с горизонталью, где θ можно рассчитать следующим образом:

θ = arctan ⁡ (a b) = arctan ⁡ (высота длина) = arctan ⁡ (20 августа) ≈ 21.8 ∘. {\ Displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {a}} {\ text {b}}} \ right) \ arctan \ left ({\ frac {\ text {высота}} {\ text {длина}}} \ right) \ arctan \ left ({\ frac {8} {20}} \ right) \ approx 21.8 ^ {\ circ} \ ,.}

В компьютерной науке и инженерии [ ред. | ред. код ]

Вариант арктангенс с двумя аргументами [ ред. | ред. код ]

Функция с двумя аргументами atan2 [En] рассчитывает арктангенс y / x для заданных y и x, но в диапазоне (- π, π]. Иными словами, atan2 (y, x) возвращает угол между положительной частью оси x на плоскости и точкой (x, y) на ней, и возвращает добавлены значения для углов против часовой стрелки (верхней полуплоскости, y> 0), и отрицательные значения для углов по часовой стрелке (нижней полуплоскости, y <0). Впервые такая функция появилась в компьютерных языках программирования, но сейчас она известна и в других областях науки и инженерии.

Через стандартную функцию arctan, в диапазоне (- π 2, π 2), ее можно задать следующим образом:

atan2 ⁡ (y, x) = {arctan ⁡ (yx) x> 0 arctan ⁡ (yx) + π y ≥ 0, x <0 arctan ⁡ (yx) - π y <0, x <0 π 2 y> 0 , x = 0 - π 2 y <0, x = 0 undefined y = 0, x = 0 {\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = {\ begin {cases} \ arctan ({\ frac {y } {x}}) & \ quad x> 0 \\\ arctan ({\ frac {y} {x}}) + \ pi & \ quad y \ geq 0 \;, \; x <0 \\\ arctan ({\ frac {y} {x}}) - \ pi & \ quad y <0 \;, \; x <0 \\ {\ frac {\ pi} {2}} & \ quad y> 0 \; , \; x = 0 \\ - {\ frac {\ pi} {2}} & \ quad y <0 \;, \; x = 0 \\ {\ text {undefined}} & \ quad y = 0 \ ;, \; x = 0 \ end {cases}}}

Это также равна главному значению [En] аргумента [En] комплексного числа x + i y.

Эту функцию можно определить с использованием формулы тангенса половинного угла [En] следующим образом:

atan2 ⁡ (y, x) = 2 arctan ⁡ (yx 2 + y 2 + x) {\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = 2 \ arctan \ left ({\ frac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} \ right)}

при условии, что x> 0 или y ≠ 0 Однако, значение будет не корректным если x ≤ 0 и y = 0 поэтому такое выражение не является полезным для расчетов.

Вышеупомянутый порядок аргументов (y, x) является наиболее общим, и в частности используется в ISO стандартам применяемые, например в языке программирования C , Но некоторые авторы могут использовать порядок наоборот (x, y), поэтому нужно уделять внимание.

Числовая точность [ ред. | ред. код ]

Для углов близкими по значению к 0 и π, arccosine есть плохо обусловленным и потому вычисления угла будет происходить с уменьшенной точностью при реализации на компьютере (через ограниченное количество разрядов). [1] Аналогично, arcsine является неточным для углов близких к - π / 2 and π / 2.

• Аркфункция от А до Я / А. С. Истер. - Изд. 2-е. - Тернополь: Учеб. кн.-Богдан, 2012. - 175 с. : Ил., Табл. ; 20 см. - (Библиотечка физико-математической школы, ISBN 978-966-10-0742-9 ). - ISBN 978-966-10-2985-8

Похожие

Комментарии