Бильярдный стол

Закон идеального отражения гласит, что угол отражения равен углу падения. Следовательно, в идеальном прямоугольном бильярде, чтобы поразить шарик A шариком A одним отражением полосы бильярдного стола, он должен измеряться в воображаемом зеркальном отображении сферы B в полосе. Поскольку прямоугольник имеет четыре стороны, четыре возможных отражения станут решением проблемы.

Согласно предыдущей заметке, комментатор 'teddi22' попросил рецепт для подобного отражения в круглом пуле. Здесь шары A и B находятся внутри круга, и шар A должен отражаться в круге, чтобы после отскока он попадал в шар B. Тот же закон отражения все еще действует - не только для круга, но и для любой плавной кривой. Под «гладкостью» мы понимаем наличие касательной в каждой точке, а следовательно, и перпендикулярно ей - так называемой нормальная линия. Таким образом, это право равенства углов отражения и падения встречается относительно линии, перпендикулярной кривой в точке отражения.

Здесь - отступление: почему перпендикуляр называется «нормальным» (аналогично - почему вектор, перпендикулярный кривой или поверхности, называется «вектором нормалей»). Слово « норма » на латыни было названием древесного угля, устройства, используемого для обозначения прямого угла. Таким образом - «нормальный» означает «прямой» или «перпендикулярный». В южном небе ночи даже есть созвездие под названием Węgielnica или Norma , показанное на рисунке слева. Нажатие на картинку приводит к странице, где подробнее о «норме» можно прочитать, в том числе этимологию слова ...

Возвращаясь к нашим шарам ... Тедди был заинтересован в том, чтобы подпрыгивать с помощью «завитка» - как и где отскакивать, когда шар вращается, так что вышеуказанное равенство углов отскока и падения больше не действует (заменено новым законом). Однако даже без оборота задача не из легких. Их можно упростить, рассматривая точечные «шарики» - достаточно следить за движением средств заданных шариков, уменьшая круг бильярда по их радиусу. Моим первым впечатлением было убеждение, что это одна из древних проблем, потому что вопрос кажется довольно естественным, и поэтому в древности, я думал, он уже был решен.

Собственная попытка решить, например, на основе теоремы косинуса, привела к очень сложному уравнению четвертой степени. Другие подходы, будь то использование линейной алгебры и матрицы вращения или использование комплексных чисел, также заканчивались неприятными тригонометрическими уравнениями или, после сокращения, уравнениями четвертого порядка.

Это легко отскочить, но попасть в цель - больше нет. Уравнение легко написать, хуже - решить. Например, давайте попробуем использовать комплексные числа. Рассмотрим единичную окружность, то есть набор точек в форме exp {it}, где t - сечение [0,2π], а «t» можно интерпретировать динамически - как угол, окруженный точкой, движущейся на единичной окружности с постоянной унитарной угловой скоростью. Точка начинает свое путешествие из положения (1.0) в декартовых координатах и ​​движется в положительном направлении, противоположном направлению движения типичных часов. «Типичный» баланс существует в конце концов уникальные часы чьи советы работают противоположно ...

Наши шары - это комплексные числа uiv, | u | <1, | v | <1. Используя закон Ферма - луч света движется по кратчайшей траектории - задача сводится к поиску минимальной функции

Да, это легко написать, это трудно решить.

Тем не менее, были смелые, которые не испугались уравнения четвертой степени. Они взяли, они согнулись ... и они растворились. Они не были древними греками, потому что это объяснили только в 90-х годах прошлого века. Среди немногих решений наиболее элегантным кажется мне следующее:

Майкл Дрекслер и Мартин Дж. Гандер: циркулярный бильярд, SIAM Rev., 1998 40 (2), 315-323

(скачать PDF в правом верхнем углу)

Он имеет приятную геометрическую интерпретацию, основанную на вышеупомянутом законе Ферма, хотя и косвенно. А именно, луч света, выходящий из фокальной точки эллипса и отраженный в нем, направляется ко второй вспышке. Эти размышления внутри эллипса очаровали меня несколько лет назад, и я посвятил им некоторые аспекты "Волосатые собаки Эли" ,

Поэтому, чтобы найти точку отражения, чтобы траектория из точки A после отражения проходила через точку B, эти точки должны быть сделаны по фокусам касательного эллипса к данной окружности. Эпизод AB - вырожденный вялый эллипс с максимальной эксцентриситетом ( эксцентричность ) равно 1, его концы также являются очагами. Поэтому его следует надувать, уменьшая эксцентрик, чтобы накачанный эллипс вступал в контакт с кругом. Как видно из иллюстрации, заимствованной из работ Дрекслера и Гандера, их может быть два, а может быть даже четыре решения.

Метод надувания эллипса до тех пор, пока он не соприкоснется с кривой, применим к любой гладкой кривой, если только она не пересекает точки, соединяющие точки A и B.

Похожие