Дизайн Виете

Если мы умножим левую часть равенства

мы получим так называемую формулу Ви Эте для квадратное уравнение ,

Другой простой способ вывести эти формулы - использовать формулы для уравнения с квадратным корнем.

Вся прелесть дизайнов Viète заключается в том, что они очень просты - например, в них нет элементов. Во многих ситуациях решения уравнения могут быть довольно неприятными, в то время как шаблоны Виете дают очень простые выражения для и ,

уравнение

у него довольно сложные решения, но вы не должны считать их, чтобы сказать, что их продукт равен и сумма , Что это дает? - например, вы можете видеть, что элементы - это разные знаки (продукт отрицательный) - это очень популярное применение дизайнов Viète.

Уравнение должно иметь корни! Чрезвычайно важно помнить, что до тех пор, пока мы имеем дело только с действительными числами, формулы Виете имеют смысл только в том случае, если уравнение имеет корни, то есть когда ,

Это замечание особенно важно в задаче с параметром - прежде чем мы начнем писать шаблоны Виета, нам нужно проверить, когда уравнение имеет решения.

Вся сила дизайнов Viète раскрывается в деле уравнение с параметром. Для таких уравнений формулы для корней уравнения дают исключительно уродливые выражения, а замыслы Виете наоборот. Типичные два типа задач этого типа определяют знаки элементов и задачи с различными типами выражений. , Мы кратко обсудим обе ситуации. Признаки элементов Как мы уже знаем, шаблоны Viète дают нам информацию о продукте. и всего , Как определить, какие признаки на этой основе и ?

Конечно, нет смысла изучать эти формулы наизусть - вы просто должны помнить, что на основе символов и Вы можете установить знак и ,

Выражения с элементами Один из популярных мотивов в задачах формулы Виета основан на том факте, что каждое симметричное выражение из и может быть представлен как полиномиальное выражение, в котором они встречаются только и , Это звучит немного сложно, поэтому давайте напишем несколько примеров

В силу формулы Виета, каждое выражение этого типа может быть легко выражено из полиномиальных коэффициентов. Эти типы преобразований всегда работают, когда выражение симметрично, то есть когда оно не изменяется при обмене и местами - все выражения, написанные выше, симметричны. Для разнообразия, выражение оно не симметрично и не может быть выражено и , (В противоположность этому, это уже симметрично).

Рассчитать сумму квадратных корней уравнения

Мы надеемся,

Системы уравнений. Начнем с примера.

Вышеупомянутое решение очень элегантно - если бы мы делали это традиционно, например, они рассчитали из второго уравнения и заменить первое, то мы должны разделить на поэтому мы должны думать о том, что происходит, когда ; затем мы должны преобразовать первое уравнение, и, наконец, мы получим то же самое квадратное уравнение, которое мы только что решили.

Описанный метод может быть применен к любой системе уравнений с двумя неизвестными и в котором уравнения симметричны - подставим , и мы решаем систему (любым способом), и в конце мы вычисляем и как описано выше.

3 Если мы знаем один корень квадратного уравнения, то из формулы (или из формулы ) у нас второй сразу.

Легко видеть, что 1 является корнем уравнения

(немного потренировавшись, вы можете сразу увидеть эти вещи - сумма коэффициентов равна 0, поэтому корень равен 1). В этом случае мы сразу знаем, что -25 является вторым элементом (потому что произведение решений равно -25).

Та же схема позволяет легко угадывать решения простых уравнений, в которых элементы полны (очень распространенная ситуация для школьных заданий).

Если мы ожидаем уравнения

он должен иметь общий корень, это должен быть делитель 6, поэтому он должен быть или , Кроме того, произведение элементов равно 6, поэтому если 1 не является элементом, то 6 не может быть и так далее. В приведенном примере элементами являются 2 и 3.

4 Шаблоны Виета могут также использоваться в ситуациях, когда данное выражение с корнями не симметрично - обычно оно дает нам систему уравнений.

6Чтобы использовать данные шаблоны Виета, мы должны знать, что уравнение является квадратным - в случае уравнения с параметром это означает, что случай должен рассматриваться отдельно, когда коэффициент это ноль.

7 В случае более экзотических условий с символами элементов стоит подумать, не проще ли определить, когда данное условие не выполнено случайно.

8 По правде говоря, такие знания выходят за рамки школьной программы, но иногда стоит понять, что существуют многочлены любой степени. Их вывод идентичен выводу квадратного уравнения.

Если мы умножим левую часть равенства

и мы сравниваем коэффициенты с соответствующими степенями тогда мы получим образцы Виета для полинома, шаг 3

Хотя эти модели не соответствуют школьным стандартам, они могут быть полезны в типичных школьных задачах.

Как и в случае квадратного уравнения, равенство отличный способ проверить, хорошо ли мы решили уравнение степени 3.

Похожие