алгебра

1. определение Алгебра (от арабского «аль-джебр», часть названия трактата «Китаб аль-джебр валь-мукабала»...

определение

Алгебра (от арабского «аль-джебр», часть названия трактата «Китаб аль-джебр валь-мукабала» ( «Полная книга вычислений путем дополнения и равновесия») узбекского математика и астронома Аль-Хорезми) - 1) раздел математики, изучающий свойства действий над различными величинами и решения уравнений, связанных с этими действиями; 2) раздел математики, изучающий системы объектов произвольной природы, в которых определены алгебраические операции, аналогичные своим свойствам действиям над числами.

История

В настоящее время алгебра - одна из важнейших частей математики, которая находит применение не только в чисто теоретических, но и в практических областях науки.

Методы решения уравнений были известны еще во II тысячелетии до н. е. переписчикам древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах является не только задачи, приводящие к уравнениям первой степени с одним неизвестным, но и задачи, приводящие к уравнениям вида \ (ax ^ 2 = b \) (квадратное уравнение).

Еще более сложные задачи умели решать в начале II тысячелетия до н. е. в древнем Вавилоне: в математических текстах, выполненных клинописью на глиняных табличках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне тоже не использовали буквенных обозначений, а приводили развязки типовых задач, сводя решение аналогичных задач к замене числовых значений. В числовой форме приводились также и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было найти квадратный корень числа а, не является точным квадратом, приближенное значение корня \ (x \) находили как среднее арифметическое чисел \ (x \) и \ (a / x \).

Среди математиков Древней Греции (начиная с VI в. До н. Э) было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о добавлении отрезков, произведение двух чисел толковали, как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел, как объем прямоугольного параллелепипеда. Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. Таким образом появились термины «квадрат числа» (то есть произведение величины на себя), "куб числа», «среднее геометрическое». Геометрическую форму у греков приобрел и решение квадратного уравнения - они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Геометрический подход к алгебраических проблем ограничивал дальнейшее развитие науки. Например, можно было добавлять величины различных размерностей (длины, площади, объем), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т. П.

Идея отказа от геометрического трактовка появилась в Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге «Арифметика» появляется буквенная символика и специальные обозначения для степеней вплоть до 6-й степени. Были у него и обозначения для отрицательных степеней, отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для добавления еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел. На дальнейшее развитие алгебры сильное влияние имели исследованы Диофантом задачи, приводящие к сложным системам алгебраических уравнений, в том числе к системам, где количество уравнений была меньше количества неизвестных. Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.

С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию, Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии.

Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней.

Индийские математики использовали отрицательные числа, усовершенствовали буквенную символику.

Однако лишь в трудах ученых Ближнего Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную отрасль математики, занимающаяся решением уравнений. В IХ в. узбекский математик и астроном Мухаммед аль-Хорезми написал трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где дал общие правила для решения уравнений первой степени.

Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого новая наука получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной части в другую с изменением знака.

Ученые Востока изучали решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней.

В Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (около. 1170 - после 1228). Его «Книга абака» (1202) - трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно.

Первым крупным самостоятельным достижением западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик Дж. Кардано Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к открытию комплексных чисел.

Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходилось излагать в словесной форме. В конце XVI в. французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, и для произвольных постоянных величин. Символика Виета была усовершенствована его последователями. Окончательный вид ей предоставил в XVII в. французский философ и математик Декарт Рене, который ввел (бывшие в употреблении по сей день) обозначения для показателей степеней.

Постепенно расширялся запас чисел, с которыми можно было выполнять действия. Завоевали права гражданства отрицательные числа, потом - комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. При этом оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу. Наконец, Декарту удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопрос решении уравнений в самом общем виде, применять уравнения к решению геометрических задач. Например, задача о нахождении точки пересечения двух прямых свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих прямых. Такой метод решения геометрических задач получил название аналитической геометрии.

Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения о алгебраических уравнений:

• теорема Безу о делимости многочлена \ (P (x) \) на двучлен \ ((xa) \), где \ (a \) - корень этого многочлена;
• формула Виета для соотношения между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами;
• правила, которые позволяют оценивать количество действительных корней уравнения;
• общие методы исключения неизвестных из систем уравнений.

Особенно далеко в сфере решении систем линейных уравнений удалось продвинуться в XVIII в. - для них были получены формулы, позволяющие выразить решение через коэффициенты и свободные члены. Дальнейшее изучение таких систем уравнений привело к теории матриц и определителей.

В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение называется основной теоремой алгебры.

В течение двух с половиной веков внимание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего уравнения 5-й степени. Надо было выразить решение этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и корней (решить уравнение в радикалах). Только в ХIХ в. итальянец П. Руфина и норвежец Н. Абель независимо друг от друга доказали, что такой формулы не существует. Эти исследования были завершены французским математиком Э. Галуа, методы которого позволили для такого уравнения определить, решается оно в радикалах или нет. Один из величайших математиков - К. Гаусс выяснил когда можно построить циркулем и линейкой правильный \ (n \) - угольник: данная задача была напрямую связана с изучением корней уравнения \ (x ^ n = 1 \). Выяснилось, что она разрешима лишь тогда, когда число n является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. Тем самым молодой студент (Гауссу было тогда 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий.

В начале ХIХ, была решена основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития. Были разработаны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о возможности решения уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных чисел» - чисел с несколькими «мнимыми единицами». Такую систему чисел, выглядели \ (a + bi + cj + dk \), где \ (i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1 \) построил в 1843 ирландский математик Уильям Гамильтон, назвав их «кватернион».

С операциями, свойства которых лишь частично напоминают свойства арифметических операций, математики ХIХ в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г.. Английский математик А. Кэли ввел общую операцию умножения матриц и изучил ее свойства. Оказалось, что к умножению матриц сводится много изученных ранее операции. Английский логик Джордж Буль в середине ХIХ в. начал изучать операции над высказываниями, которые позволяли из двух данных высказываний построить третье, а в конце ХIХ в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над множествами: объединение, пересечение и тому подобное.

Изучив свойства операций сложения и умножения над множествами рациональных, действительных и комплексных чисел, математики создали общее понятие поля - множества, где определены эти две операции, причем выполняются их обычные свойства. Исследование операции умножения матриц привело к выделению понятия группы, которое является ныне одним из важнейших не только в алгебре, но и во всей математике.

источники:

• Материал из Википедии ( http://www.wikipedia.org ) - свободной энциклопедии.
• Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия (Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия).

Похожие

Комментарии