2. Pusty zbiór / Paradoksy teorii mnogości // Ivan Yashchenko ∀ ∀ x, y, z

1. Podobny

Co to znaczy jest podzbiorem zestawu ? Oznacza to, że wszystkie elementy zestawu należ i ustaw . Jeśli więc wyobrażasz sobie zestawy w formie pudełek, to - To jest duże pudełko i wiele - mniejsze pudełko, w którym leżą niektóre elementy leżące w pudełku . Oznaczenie: .

Na przykład zbiór wszystkich liczb parzystych jest podzbiorem zbioru wszystkich liczb całkowitych i zestawu - podzbiór zbioru .

Rozważ dwa zestawy:

wszystkie latające krokodyle i wszyscy uczestnicy Olimpiady .

Czy jeden z nich jest podzbiorem drugiego?

Jak to udowodnić ? Możesz sprawdzić dowolny element zestawy leży w . I możesz zastosować tę metodę przez sprzeczność * 2 jeśli nie podzbiór wtedy jest element takie a jeśli tak, to nie wtedy .

Ale czy można znaleźć latającego krokodyla, nie uczestniczącego w Olimpiadzie? Ale gdzie możesz nawet znaleźć latającego krokodyla ... Dlatego

wszystkie latające krokodyle wszyscy uczestnicy Olimpiady * 3 .

Zestaw latających krokodyli jest pustym zestawem: nie ma w nim żadnych elementów. Ten zestaw jest tak ważny, że wymyślił nawet specjalny symbol: * 4 . Dla pustego zestawu jest tylko jeden symbol, ponieważ pusty zestaw jest unikalny. Przypuśćmy, że istnieją dwa różne puste zestawy. Ale co oznacza, że ​​zestawy są inne? Oznacza to, że w jednym z nich jest element, który nie należy do drugiego. Ale w pustych zestawach nie ma żadnych elementów!

Udowodniliśmy więc, że pusty zestaw jest unikalny i jest podzbiorem każdego innego zestawu.

Podobny

• Mikhail Raskin

  Współczesna matematyka używa teorii mnogości jako podstawy. Tradycyjnie, analizując subtelności teoretyczne zbioru, stosuje się aksjomatykę Zermelo-Fraenkel z aksjomatem wyboru, oznaczonym ZFC. Aksjomat wyboru opiera się na dowodzie istnienia podstawy w dowolnej przestrzeni wektorowej i istnieniu niezmierzonego zestawu w analizie matematycznej. Niestety, teoria zbiorów musi działać z zestawami, które nie są opisane wystarczająco szczegółowo i konkretnie, abyśmy mogli je sobie wyobrazić. Kurs rozważy jeden przykład tego, do czego to prowadzi. Okazuje się, że kosztem osłabienia aksjomatu wyboru można uzyskać teorię zbiorów, w której dowolną ograniczoną funkcją w przedziale jest całkowalny Lebesgue. Fakt, że aksjomat wyboru jest używany w pewnym sensie, wydarzył się historycznie. Kurs opiera się na R.M. Solovay o konstrukcji teorii mnogości, w której wszystkie zbiory liczb rzeczywistych są mierzalne.

• Mikhail Raskin

  W teorii mnogości istnieje kilka dobrze znanych pytań dotyczących tego, czy inny aksjomat wynika z niektórych aksjomatów (lub hipotezy; aksjomat jest tylko hipotezą używaną przez przytłaczającą większość). Podobnie jak w innych dziedzinach matematyki, nieudowodność można wykazać za pomocą modelu, w którym założenia są poprawne, ale hipoteza nie jest prawdziwa. Aby zbudować jeden z najsłynniejszych takich przykładów, model teorii mnogości, w którym istnieje moc pośrednia między mocami szeregu naturalnego a rzeczywistą, Cohen opracował metodę wymuszającą.

• Wiktor Wiktorow

  Podstawowe pojęcia, operacje na zbiorach, tożsamości, właściwości dopełniacza, reguła De Morgana, właściwości różnicy symetrycznej; mapowanie (funkcja), faktoryzacja, relacja równoważności, paradoks fryzjera; uporządkowane zbiory, minimalne, najmniejsze, maksymalne i największe elementy w uporządkowanym zestawie, majorant i minorant; aksjomat wyboru, dobrze uporządkowany zestaw.

• Proskuryakov I.V.

  Celem tej książki jest ścisła definicja liczb, wielomianów i ułamków algebraicznych oraz uzasadnienie ich właściwości już znanych ze szkoły, a nie zapoznanie czytelnika z nowymi właściwościami. Dlatego czytelnik nie znajdzie dla niego nowych faktów (z wyjątkiem, być może, niektórych właściwości, liczb rzeczywistych i złożonych), ale dowie się, jak udowodniono, że są dobrze znane, począwszy od „dwóch i dwóch - czterech” i kończąc na regułach działania z wielomianami i ułamki algebraiczne. Ale czytelnik zapozna się z szeregiem wspólnych pojęć, które odgrywają główną rolę w algebrze.

• Gick E. Ya.

• Peter Atkins

• Smallian raymond

• Vladimir Arnold

• Smallian raymond