2. Leere Menge / Paradoxe der Mengenlehre // Ivan Yashchenko ∀ ∀ x, y, z

1. Ähnliches

Was heißt das? ist eine Teilmenge der Menge ? Dies bedeutet, dass alle Elemente der Menge gehören und setzen . Wenn Sie sich Sets in Form von Boxen vorstellen, dann - Das ist eine große Kiste, und viele - eine kleinere Kiste, in der einige der in der Kiste liegenden Elemente liegen . Bezeichnung: .

Beispielsweise ist die Menge aller geraden Zahlen eine Teilmenge der Menge aller ganzen Zahlen und der Menge - eine Teilmenge der Menge .

Betrachten Sie zwei Sätze:

alle fliegenden Krokodile und alle Teilnehmer der Olympiade .

Ist einer von ihnen eine Untergruppe des anderen?

Wie kann man das beweisen? ? Sie können das jedes Element überprüfen setzt liegt in . Und Sie können die Methode im Widerspruch anwenden * 2 wenn keine Untermenge dann gibt es ein Element so dass und wenn ja nein dann .

Aber ist es möglich, ein fliegendes Krokodil zu finden, das nicht an der Olympiade teilnimmt? Aber wo kann man überhaupt ein fliegendes Krokodil finden ... Deshalb

alle fliegenden Krokodile alle Teilnehmer der Olympiade * 3 .

Die Menge der fliegenden Krokodile ist eine leere Menge: Sie enthält keine Elemente. Dieses Set ist so wichtig, dass es sogar ein besonderes Symbol gibt: * 4 . Es gibt nur ein Symbol für die leere Menge, da die leere Menge eindeutig ist. Angenommen, es gibt zwei verschiedene leere Mengen. Aber was bedeutet, dass die Sets unterschiedlich sind? Dies bedeutet, dass es in einem von ihnen ein Element gibt, das nicht zum anderen gehört. Aber in leeren Sets gibt es überhaupt keine Elemente!

Wir haben also bewiesen, dass die leere Menge eindeutig ist und eine Teilmenge jeder anderen Menge ist.

Ähnliches

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• Mikhail Raskin

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