МАТЕМАТИКА НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

21.12.2018

Румянцева Ксения

женский кандидат в мастера ФИДЕ

ученица 6 А класса гимназии № 10 ЛИК

г. Невинномысска

Я заинтересовалась этой темой потому, что люблю шахматы, и мне очень нравится предмет математика. Мама часто говорит мне: «Играй в шахматы, будешь знать математику на 5». В связи с этим я часто думаю о том, почему так. Немного поразмыслив, я решила, что между ними есть какая — то связь.

Прежде всего, хочу рассказать одну легенду, в которой прослеживается связь между шахматами и математикой.

Когда персидский шах впервые познакомился с шахматами, он был восхищен их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, шах позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца, и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски мудрец попросил положить одно зерно, на второе – два, и т. д., на каждое последующее вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Шах приказал быстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира.

Это число записывается двадцатью цифрами и является фантастически большим. Подсчет показывает, что амбар для хранения необходимого зерна с площадью основания 80 кв. м. должен простираться от Земли до Солнца. Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

1 . Связь между шахматами и математикой

В первую очередь попробуем найти эту связь. Для этого мы рассмотрим шахматную доску. Итак, мы видим, что на шахматной доске есть координаты, также на ней есть и симметрия, геометрия тоже не обошла её стороной (Рис.1).

Рис.1. Шахматная доска

Основываясь на этом, я начала рассматривать эту связь более подробно, а именно на примерах.

2. Симметрия в шахматах

Симметрия, как общий принцип гармонии в живой природе имеет глубокий смысл. Изучение ее проявлений, закономерностей играет важную роль в математике, физике, химии, биологии.

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Рассмотрим примеры преобразования фигур.

I. Симметрия относительно точки – центральная симметрия

Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру F 1 , при котором ее каждая точка Х переходит в точку Х 1 , симметричную относительно данной точки О , называют преобразованием симметрии относительно точки О (Рис. 2).

Рис. 2. Симметрия относительно точки

I. Симметрия относительно прямой – осевая симметрия

Преобразование фигуры F в F 1 , при котором каждая точка Х переходит в точку Х 1 , симметричную относительно прямой g , называется преобразованием симметрии относительно прямой g . При этом фигуры F и F 1 называются симметричными относительно прямой g (Рис. 3).

Рис. 3. Симметрия относительно прямой

Разнообразные мотивы симметрии встречаются и на шахматной доске. С одной стороны, речь может идти о симметрии естественной, т. е. возникающей в процессе шахматной партии, а с другой стороны, — используемой в шахматных задачах и этюдах.

Симметрия бывает различных типов; наиболее распространенные – осевая и центральная. На шахматной доске при осевой симметрии осью служит прямая, разделяющая левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «e») или нижнюю и верхнюю части (граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7 (Рис.4), то мы говорим, что эти кони расположены симметрично. Осями являются и большие диагонали.

Рис. 4. Симметричное расположение коней на шахматной доске

Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур.

Известна такая забавная история. Некто явился в шахматный клуб и объявил, что нашел верный способ не проигрывать черными. «Каким образом?» — спросили его. «Очень просто, — ответил гость, — повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем вызвался С.Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода. Неясно, как Ллойд это сделал. Я могу поставить мат за 6 ходов при полной симметрии фигур.

1) с2-с3 с7-с6

2) е2-е3 е7-е6

3) Кg1-е2 Кg8-е7

4) Кb1-с3 Кb8с6

5) Кс3-е4 Кс6-е5

6) Ке4-d6х

3. Система координат

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В ХIVв. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.

Декартовая система координат на плоскости задается взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом . Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х , вертикальная – осью ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу. Координаты точки обычно указывают в скобках рядом с обозначением точки: Р(х;у)

(Рис. 5. Декартова система координат

На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).

На рисунке 6 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.

Рис.6. Определение координат шахматных фигур

4. Четность и нечетность

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их цифрами (условные знаки для обозначения чисел).

Цифры 2, 4, 6, 8 называются четными , а цифры 1, 3, 5, 7, 9 нечетными . Из признака делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными , остальные – нечетными .

На шахматной доске так же есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода.

При каждом ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. (Рис. 7)

Рис. 7. Четность и нечетность на шахматной доске

Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение шахмат к математике.

5. Геометрия шахматной доски

Можно сказать, что ничего удивительного и интересного здесь нет. Можно подумать, что при виде шахматной доски мы сразу вспоминаем геометрию (из – за геометрической формы доски). Это, безусловно, так, но геометрическая форма ещё не всё.

Дело в том, что при игре в шахматы, как и в любой другой науке, есть свои определённые правила. И существует такое правило, как правило, квадрата.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. При этой композиции (Рис.8) неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда и т.д. и при этом они часто путаются и, в конце концов, просчитываются.

Рис. 8. Правило квадрата

Однако исход партии легко оценить при помощи «правила квадрата».

Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки. Итак, в нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.

6. Шахматы и магические квадраты

Существует гипотеза о том, что шахматы произошли из так называемых магических квадратов.

Магический квадрат представляет собой квадратную таблицу n´n, заполненную целыми числами и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260 (рис. 9). Закономерность расположения чисел в магических квадратах придает им волшебную силу искусства.

Рис. 9. Альмуджаннах и магический квадрат.

Рассмотрим одну из старинных дебютных табий (начальных расположений фигур) под названием альмуджаннах. Она получается из современной расстановки при помощи следующих симметричных ходов белых и черных: 1. d3 d6 2. e3 e6 3. b3 b6 4. g3 g6 5. c3 c6 6. f3 f6 7. c4 c5 8. f4 f5 9. Кc3 Кc6 10. Кf3 Кf6 11. Лb1 Лb8 12. Лg1 Лg8 (рис. 9).

Подсчитав сумму чисел, стоящих на восьми полях — d2, d3, e2, e3, d6, d7, e6, e7, участвующих в первые двух ходах, мы неожиданно получим магическое числе 260. Тот же результат даст и каждая последующая пара приведенных ходов. Подобные примеры и позволяют высказать гипотезу о связи магических квадратов с шахматами.

7. Задачи шахматные и математические

Задачи на четность, нечётность

Конь вышел на поле А8 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.

Рис. 10. Решение задачи 1

Решение: Вы, наверное, заметили, что, делая каждый ход, конь меняет цвет клетки (Рис. 10), на которой он стоит. Следовательно: каждый нечетный ход конь будет вставать на чёрную клетку. Исходя из этого и зная то, что конь должен вернуться на клетку А8, белого цвета, мы можем сказать, что он вернется через четное число ходов.

Может ли конь пройти с поля a8 на поле h(1), побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

Рис. 11. Решение задачи 2

Решение: Как и в предыдущем задании при каждом ходе конь меняет цвет клетки, на которой он стоит (Рис. 11). Следовательно, на доске 63 хода (нечетное число), а8 – белая клетка, при 63 ходе конь будет на чёрной клетке.

Задача на разделение шахматной доски

Из шахматной доски 8*8 вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что остаток доски нельзя разделить на доминошки (прямоугольники 1*2). Решение:

Так выглядит доминошка: . На шахматной доске, при удалении двух угловых клеток (а это либо две белых, либо две чёрных клетки), у нас получится 30 чёрных (белых) и 32 белых (чёрных) (Рис. 12). А это значит, что мы не сможем разделить оставшуюся часть доски на доминошки (так как неравное количество чёрных и белых клеток). Рис. 12. Решение задачи 3

Задача на расстановку фигур

Расставьте на обычной шахматной доске тpи феpзя и две ладьи одного цвета так, чтобы все остальные поля доски оказались под боем.

Решений этой задачи достаточно много, одно из них приведено на рисунке 13.

Мат в центpе доски

Hа доске стоит белый коpоль (поле A1), и чеpный коpоль (поле D4) (Рис. 14). Добавьте две белые ладьи и белого коня так, чтобы чеpный коpоль оказался заматован.

Рис. 14. Условие задачи 5

Решение этой задачи приведено на рисунке 15. Рис. 15. Решение задачи 5

Я поставила себе цель найти связь между шахматами и математикой, и считаю, что выполнила поставленную задачу. На примерах я подробно разобрала эту связь.

Таким образом, математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические задачи, помогают развивать логику, внимание и таким образом знать математику на пять.

В дальнейшем, я разберусь в том, что осталось для меня загадкой, и я обязательно буду продолжать играть в шахматы.