МОЯ ТВОРЧЕСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ " Каждая цивилизация в определенном возрасте имеет возможность возвысить, или разрушить себя. Если делается выбор в пользу возвышения, то возникает импульс, позволяющий появиться учениям об утерянных законах сущего". ( Высший разум, ченнелинг). М.И. Беляев © |
20.12.2018
Сегодня у нас заключительный урок на производные из ЕГЭ по математике. И как всегда по традиции последняя задача будет немножко нестандартной. Итак:
Задача B15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; π/3]:
Перед тем, как мы начнем решать эту задачу, хотел бы напомнить вам общий универсальный алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Он состоит из 4 шагов:
1. Первый шаг состоит в том, что нужно найти производную нашей функции: ' = ?
2. Второй шаг — производную мы приравниваем к нулю в результате решения у нас получится один или несколько корней: {1}, {2}, ...
3. Затем берем эти корни и оставляем только те из них, которые лежат на отрезке, указанном в условии задачи — в нашем случае речь идет об отрезке [0; π/3]. Другими словами, мы вычеркиваем все корни, которые не лежат на интересующем нас отрезке: {1}, {2} ∈ [0; π/3].
4. Наконец, подставляем концы отрезка, а также оставшиеся корни в нашей исходное уравнение. Другими словами, мы находим (0); (π/3); (1); (2), т. е. значение функции в нулях производной.
Это стандартная схема, и мы применяли ее уже много раз.
Естественно, при взгляде на этот алгоритм у многих учеников сразу возникают вопросы. Первый и самый распространенный: «Почему это мы подставляем в нашу функцию концы отрезка? Неужели недостаточно просто посчитать функцию в нулях производной?»
К сожалению, недостаточно. Взгляните вот на такую функцию:
На этом рисунке видно, что наибольшее значение функции достигается именно в правом верхнем конце отрезка — в точке , а никак не в точке 1, которая является точкой максимума и, соответственно, возникает при решении уравнения ' = 0. То же самое и с наименьшим значением — оно достигается в точке , но ни в коем случае не в точке 2, которая также возникнет при решении ' = 0.
Вспомните определение производной и точки экстремума: в данном случае точка 1 будет являться точкой локального максимума , т. е. на некотором интервале, достаточно небольшом, именно на этой точке будет приниматься наибольшее значение. То же самое касается и точки 2. На некотором небольшом интервале, т. е. на определенном отступе от этой точки вправо или влево функция действительно будет принимать наименьшее значение именно в точке 2.
Однако на глобальном отрезке никто этого не гарантировал. И часто случается так, что настоящее наибольшее или наименьшее значение функции достигается именно на концах рассматриваемого отрезка. Особенно это качается задач B15, которые любят давать на пробниках и разных демонстрационных ЕГЭ по математике.
Наибольшее или наименьшее значение функции совсем не обязательно достигается в нулях производной. Очень часто такие значения возникают на концах отрезка, где производная отлична от нуля.
В общем, чтобы подстраховаться и не допустить обидных ошибок на настоящем экзамене, настоятельно рекомендую вам считать значения функции не только в нулях производной, но и на концах отрезка, т. е. в нашем случае в точках х = 0 и х = π/3.
С теорией разобрались, давайте решать нашу задачу. Для начала нам нужно посчитать производную функции:
Итак, записываем:
И вот тут возникает проблема в данной задаче: дело в том, что внутри синуса и косинуса стоит не переменная х, а выражение 2х и даже 4х.
Как поступать с такими конструкциями? Конечно, можно воспользоваться производной сложной функции, посчитать и в итоге получить правильное значение, но давайте не будем лезть в дебри, а вспомним замечательную формулу, которая рассматривалась не нескольких уроках, посвященным подготовке к ЕГЭ по математике. Формула следующая:
Другими словами, замена переменной функции не проходит для всей функции бесследно. В случае, если вместо х мы подставляем линейную функцию, то перед новой производной появляется коэффициент.
Линейная замена переменной приводит лишь к одному дополнительному множителю в производной. Никаких сложных формул при линейной замене применять не нужно!
Это частный случай производной сложной функции. Однако сложные функции в реальном ЕГЭ не встречаются. Поэтому вам достаточно будет знать упрощенную конструкцию, которую мы записали. Ее очень легко применять.
Давайте посчитаем производную sin 2. Для этого вспомним такое:
Тогда производная от sin 2 будет выглядеть так:
Все, производная 2sin 2 найдена. Аналогично давайте разберемся и с производной cos 4:
А теперь собираем это все в одну конструкцию и получаем:
Итак, первый шаг нашего алгоритма выполнен, мы нашли производную. Теперь приравниваем эту производную к нулю и решаем полученное уравнение:
Перед нами обычное тригонометрическое уравнение и все, что нам требуется сделать в нем — это свести все тригонометрические функции к одному и тому же аргументу. Как правило, в таких задачах следует стремиться к наименьшему аргументу. Поэтому вспомним формулу двойного угла:
В нашем случае это будет выглядеть так:
Обратите внимание! Мы пишем именно 2х, потому что в исходной формуле, которую мы разложили, вместо переменной λ стоит именно 2х.
Итак, с синусом двойного угла мы разобрались, перепишем наше уравнение с учетом этого факта. Получим:
Итак, мы разложили наше уравнение на множители. Теперь вспоминаем: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Запишем:
Первое уравнение решается элементарно:
А со вторым уравнением будет немного посложнее:
Напомню, что решение простейших тригонометрических уравнений , которые содержат синус, лучше записывать как совокупность из двух наборов корней.
Однако на этом решение уравнения еще не закончилось. Взгляните, мы нашли только 2х, а нужно найти просто х. Находим:
Уравнение решено. Переходим к третьему шагу: необходимо отобрать корны, которые лежат на отрезке [0; π/3].
Для этого нам сначала потребуется начертить радар, а потом отметить на мне все три набора корней. На этом же отрезке отмечаем концы отрезка. Получим:
На самом деле из всего этого многообразия нас интересуют лишь две точки: π/4 и π/12. Все, третий шаг выполнен. Мы отобрали корни на отрезке.
А теперь возвращаемся к условию задачи и вспоминаем, что нам нужно найти наибольшее значение функции на отрезке. Т. е. нужно взять функцию
И подставить в нее следующие числа:
Оба конца нашего отрезка — числа 0 и π/3 А также два корня производной, которую мы нашли: π/4 и π/12Затем из полученных четырех значений функции надо выбрать наибольшее.
Давайте решать. В первую очередь предлагаю подставить корни нашей производной, т. е. числа π/4 и π/12. Получим:
Итак, (π/4) = 1
Подставляем второе число — = π/12:
Все, с корнями из производной мы разобрались, теперь считаем значение функции на концах отрезка:
Теперь подставляем правый конец отрезка:
Оба аргумента и в синусе, и в косинусе являются нестандартными значениями (их нет в классической таблице значений тригонометрических функций), поэтому давайте отметим их на тригонометрическом круге :
С помощью полученных данных вычисляем значение функции:
Это иррациональное число, которое нельзя записать в ответ. Следовательно, оно не является ответом к задаче.
Итого нам на выбор осталось три числа: = 1; = 1,5; = 1. Требуется найти наибольшее значение . Следовательно, ответом будет являться = 1,5. Все, задача решена.
В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на два ключевых факта в решении этой задачи. В первую очередь, речь идет о производной сложной функции. В реальных задачах из ЕГЭ по математике встречается лишь упрощенная версия формулы, которую мы записали в самом начале решения задачи.
Итак, запомните: если в табличной производной заменить переменную х на линейное выражение + , то и в самой производной нужно везде вместо х подставить выражение + . Кроме того, перед самой производной нужно добавить множитель — тот саамый, который стоял перед х во время замены.
Это универсальное правило , и оно работает всегда. Давайте посмотрим. Например, у нас есть следующая функция:
Возьмем большую степень, чтобы у вас не возникало соблазна раскрывать ее по формулам сокращенного умножения. А теперь мы хотим посчитать производную:
Как это сделать? Очень просто. Вспоминаем: производная функции = 101 является табличной и легко считается:
Теперь, если вместо переменной х мы хотим подставить выражение + , например, 5х + 7, то получим, что производная такой функции будет равна:
Последний множитель «5» появился из-за того, что вместо переменной х мы подставили линейную функцию 5х + 7, т. е. выражение, которое при х содержит множитель 5. Если бы перед их стоял коэффициент = 10, мы умножили бы производную на 10.
При этом второе слагаемое — число = 7 — никак не влияет на результат. Т.е. на итоговую производную влияет только коэффициент при х. Запомните это.
Второй важный момент касается отбора корней и решения тригонометрических уравнений, а конкретно — я бы хотел поговорить про решение тригонометрических уравнений, содержащих синус .
Как обычно нас учат записывать решение таких уравнений? Еще в школьных учебниках можно увидеть формулу:
Естественно, многие ученики спросят: почему мы не используем эту формулу? Зачем разбивать эту формулу на какую-то совокупность, что-то там считать, усложняя себе задачу?
На самом деле такая запись имеет одно единственное преимущество — краткость. Во всем остальном работать с этой записью — сплошное мучение:
Непонятно, что делать с множителем (−1). Как отмечать постоянно гуляющее то в плюс, то в минус число на тригонометрическом круге? Если вы захотите отбирать корни не с помощью тригонометрического круга, а с помощью двойного неравенства, опять же возникает проблема, потому что слагаемое (−1) · arcsin нужно будет вычитать из обеих частей неравенства. Затем полученную конструкцию нужно будет разделить на π, и вот тут возникает проблема: а что делать с множителем (−1)? Он снова будет мешать нам и служить источником многочисленных ошибок для большинства учеников.Чтобы избежать этих многочисленных проблем, просто записывайте решение синуса в виде совокупности из двух уравнений, так, как мы и сделали сегодня при решении нашей задачи.
Вот и все замечания. Я специально детально рассказывал каждый шаг решения — настолько детально, что сам допустил ошибку при вычислении производной. Но ничего страшного, мы заметили ошибку вовремя, и поэтому итоговый ответ и все выкладки получись правильными.:)
Желаю вам удачи при решении сложных задач на ЕГЭ по математике, тренируйтесь в решении задач, смотрите видеоуроки и сдавайте ЕГЭ на «отлично». А у меня на этом все.
Смотрите также:
Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов Тригонометрические функции Как решать квадратные уравнения Локальная теорема Муавра — Лапласа Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант Как решать простейшие логарифмические уравнения
© Беляев М.И., "МИЛОГИЯ"
Сайт ЯВЛЯЕТСЯ ТВОРЧЕСКОЙ МАСТЕРСКОЙ АВТОРА, открытой для всех посетителей. Убедительная просьба сообщать о всех замеченных ошибках, некорректных формулировках. Книги " Основы милогии ", " Милогия " могут быть высланы в Ваш адрес наложенным платежом, e-mail: [email protected] |