Home › News

Позиционные системы счисления. Арифметические операции в позиционных системах счисления

06.09.2018

 

comp-science.narod.ru ==> Дидактические материалы по информатике ==> Системы счисления

 

(из сборника " Введение в информатику. Лабораторные работы.

/ Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999. (Ч. I — 56 с.) ")

 

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления . Если количество таких цифр равно P , то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = anPn + an -1 Pn -1 + ... + a 1 P1 + a 0P 0 + a -1 P-1 + ... + a-mP-m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P  > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P . Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P .

 

Примеры решения задач

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94 232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88 116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76 58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52 а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04 14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08 7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16 3 | 1 2 | 0 1 | 1 1 | 1

а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10)  »  1110011,11110(2) (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

P	2	00	01	10	11
4	0	1	2	3

P	2	000	001	010	011	100	101	110	111
8	0	1	2	3	4	5	6	7

P	2	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Переведем из двоичной системы в восьмеричную число 1111010101,11(2).

001 111 010 101,110(2) = 1725,6(8).

Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).

0011 1101 0101,1100(2) = 3D5,C(16). Соответствие между шестнадцатеричными цифрами и десятичными числами 16 10

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

Некоторые неотрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536

Некоторые отрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень

-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
0,5	0,25	0,125	0,0625	0,03125	0,015625	0,0078125

а) 1000001(2).

1000001(2)=1 × 26+0 × 25+0 × 24+0 × 23+0 × 22+ 0 × 21+1 × 20 = 64+1=65(10).

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101(2).

1000011111,0101(2)=1 × 29 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2-2 + 1 × 2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10). Некоторые неотрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень

0	1	2	3	4
1	8	64	512	4096

Некоторые отрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень

-1	-2
0,125	0,015625

в) 1216,04(8).

1216,04(8)=1 × 83+2 × 82+1 × 81+6 × 80+4 × 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625(10). Некоторые неотрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень

0	1	2	3	4
1	16	256	4096	65536

Некоторые отрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень

-1	-2
0,0625	0,00390625

г) 29A,5(16).

29A,5(16) = 2 × 162+9 × 161+10 × 160+5 × 16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125(10).

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.

+     0     1   0 0 1 1 1 10

´     0     1   0 0 0 1 0 1

+   0   1   2   3   4   5   6   7  0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16

´    0   1   2   3   4   5   6   7  0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

´	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

3. Сложить числа:

а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).

б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).

в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).

10000000100 223,2 3B3,6 + 111000010 + 427,54 +38B,4 ------------ ------- ----- 10111000110 652,74 73E,A

 

Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.

 

а) 10000000100(2)=1 × 210+1 × 22 = 1024+4=1028(10)

111000010(2)=1 × 28+ 1 × 27+ 1 × 26+ 1 × 21 =  256+128+64+2 = 450(10)

10111000110(2)=1 × 210+ 1 × 28+ 1 × 27+ 1 × 26+ 1 × 22+ 1 × 21 =  1024+256+128+64+4+2 = 1478(10)

1028(10)+450(10) = 1478(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно!

 

б) 223,2(8)=2 × 82+ 2 × 81+ 3 × 80+ 2 × 8-1 =  128+16+3+0,25 = 147,25(10)

427,54(8)= 4 × 82+ 2 × 81+ 7 × 80+ 5 × 8-1+ 4 × 8-2 =  256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875(10)

652,74(8)= 6 × 82+ 5 × 81+ 2 × 80+ 7 × 8-1+ 4 × 8-2 =  384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375(10)

147,25(10)+279,6875(10) = 426,9375(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно!

 

в) 3B3,6(16)= 3 × 162+ 11 × 161+ 3 × 160+ 6 × 16-1 =  768+176+3+0,375 = 947,375(10)

38B,4(16)= 3 × 162+ 8 × 161+ 11 × 160+ 4 × 16-1 =  768+128+11+0,25 = 907,25(10)

73E,A(16)= 7 × 82+ 3 × 81+ 14 × 80+ 10 × 8-1 =  1792+48+14+0,625 = 1854,625(10)

947,375(10)+907,25(10) = 1854,625(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно!

 

4. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).

б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).

в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).

1100000011,011 1510,2 27D,D8 - 101010111,1 -1230,54 -191,2 -------------- ------- ------ 110101011,111 257,44 EC,B8

5. Выполнить умножение:

а) 100111(2) ´   1000111(2) = 101011010001(2).

б) 1170,64(8) ´   46,3(8) = 57334,134(8).

в) 61,A(16) ´   40,D(16) = 18B7,52(16).

100111 1170,64 61,A *1000111 * 46,3 *40,D ------------- -------------- ---------- 100111 355 234 4F 52 + 100111 + 7324 70 + 1868 100111 47432 0 ---------- 100111 ------------- 18B7,52 ------------- 57334,134 101011010001

6. Выполнить деление:

а) 100110010011000(2) : 101011(2)=111001000(2);

б) 46230(8) : 53(8)=710(8);

в) 4C98(16) : 2B(16)=1C8(16).

Калькулятор для работы в системах счисления с основаниями 2-36

История систем счисления

Представление числовой информации в памяти ЭВМ

Задачи по позиционным системам счисления

Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной? Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)? Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)? Преобразуйте следующие десятичные числа в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128. Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101. Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015. Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

 

[Заглавная страница] [Олимпиады по программированию] [Подготовка к олимпиадам] [Дидактические материалы по информатике]

[Дидактические материалы по математике] [Методическая копилка] [Ресурсы Интернет] [Об авторе]

 

 

© А.П. Шестаков , 1999-2009 Сайт создан в системе uCoz