Закон инерции Сильвестра

1. Закон инерции для квадратичных форм [ ред. | ред. код ]

Материал из Википедии - свободной энциклопедии.

Закон инерции Сильвестра - две действительны симметричные матрицы есть когруентнимы тогда и только тогда , Когда в них одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений .

Чтобы упростить задание билинейной формы , ищут базис в котором ее матрица является диагональной .

произвольная действительная симметричная матрица является конгруэнтной в некоторой диагональной матрицы, причем, можно ограничиться только ортогональными преобразованиями P - 1 = P T. {\ Displaystyle \ P ^ {- 1} = P ^ {T}.}

И диагональная матрица будет состоять из собственных значений матрицы A {\ displaystyle \ A} (См. подобные матрицы ).

Если же не ограничиваться только ортогональными преобразованиями , То можно добиться, что на диагонали будут только числа -1, 0, +1.

Закон инерции для квадратичных форм [ ред. | ред. код ]

В контексте квадратичной формы , Действительную квадратичную форму Q от n переменных (или n -вимирному настоящем векторном пространстве) можно через подходящую смену базиса (через обратимое линейное преобразование с x в y) привести к диагональной формы

Q (x 1, x 2, ..., xn) = Σ i = 1 naixi 2 {\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ sum _ {i = 1 } ^ {n} a_ {i} x_ {i} ^ {2}}

с каждым a i ∈ {0, 1, 1}. Закон инерции Сильвестра утверждает, что количество коэффициентов определенного знака неизменна для Q, то есть не зависит от выбора базиса диагонализации. Геометрически, закон инерции говорит, что все максимальные подпространства, на которых квадратичная форма додатноозначена (Соответственно, видьемноозначена) имеют одинаковую размерность. Эти размерности является положительным и отрицательным индексами инерции.