Raíz cuadrada de un número

Ya nos hemos comprendido a nosotros mismos que cada acción matemática corresponde a una acción similar, pero opuesta en dirección.

Además, tal acción inversa es la resta, para la multiplicación - división. Ahora tratemos de averiguar qué acción es la opuesta para la exponenciación. Dado que la exponenciación es una multiplicación múltiple, entonces, obviamente, la acción inversa será división múltiple.

Por ejemplo, 32 puede dividirse por 2 y obtener 16, luego 16 dividido por 2 y obtener 8; luego 8 dividido por 2 y obtener 4; luego 4 dividido por 2 y obtener 2; finalmente, luego se divide 2 por 2 y se obtiene 1. En resumen, estas acciones se pueden escribir como 32: 2: 2: 2: 2: 2 = 1. (Nuestro la tarea era llegar a 1.) Como hicimos la división 5 veces y llegamos a 1, podemos decir que 2 es la quinta raíz de 32.

Si consideramos el número 81, vemos que 81: 3: 3: 3: 3 = 1, entonces 3 es la raíz de cuarto grado de 81. (¿Por qué, en realidad, la raíz? ¿De dónde viene esta palabra? Esto se puede explicar de esta manera : el número 32 crece desde la base 2, y 81 crece desde la base 3 al igual que la planta crece desde las raíces.)

Dicha operación matemática se denota como $ \ sqrt {} $. El número de raíces se indica mediante el número en la parte superior izquierda de la raíz. Entonces, la raíz de quinto grado de 32 se puede escribir como $ \ sqrt [5] {32} $, la cuarta raíz de poder de 81 se puede escribir como $ \ sqrt [4] {81} $. El icono $ \ sqrt {} $ se llama el signo radical, y los números que contienen las raíces se llaman radicales . La palabra "radical" nos llegó del latín, donde simplemente significa "raíz".

Rara vez nos encontramos con raíces de altos grados, la mayoría de las veces tenemos que lidiar con operaciones que son inversas a la construcción de un segundo grado, es decir, un cuadrado. La extracción de la raíz de segundo grado se llama la extracción de la raíz cuadrada, y $ \ sqrt [2] {} $ se llama la raíz cuadrada , y los dos de la izquierda a menudo se omiten. En el futuro, bajo el icono $ \ sqrt {} $ sin el número en la esquina superior izquierda, siempre nos referiremos a la raíz cuadrada.

¿Cuál es la raíz cuadrada de un número? 25 es el cuadrado 5, así que podemos decir que 5 es la raíz cuadrada de 25, o $ \ sqrt {25} = 5 $. Por lo tanto, uno debería decir "cinco es la raíz de segundo grado de 25", pero el término "raíz cuadrada" se usa generalmente. (Del mismo modo, una raíz de tercer grado se llama una raíz cúbica ).

El siguiente problema es averiguar cómo encontrar la raíz de tal o cual número. Aquí puedes ir de lo contrario. Supongamos que sabemos que $ 2 ^ 5 = $ 32, lo que significa que si 32 es divisible por 2 por 2, el resultado es 1. (Si elevamos un número en algún grado, no es difícil ir en el orden opuesto).

En la práctica, el método aritmético para determinar las raíces es una serie de acciones inversas. Intentemos extraer la raíz cuadrada de 625. El esquema de cálculo será el siguiente:

El primer dígito de la respuesta, 2, obtenemos una selección. Sabemos que 2 × 2 = 4, este es el número más cercano posible, menos de 6, porque 3 × 3 = 9, que es más de 6. Luego restamos y colocamos dos dígitos en lugar de uno, como es habitual con la división habitual en una barra. (Si extrajéramos la raíz cúbica, soportaríamos tres dígitos, en el caso de una cuarta raíz raíz, cuatro dígitos, etc.) Para obtener el siguiente dígito, debe dividir 225 por 45. Usted obtiene 45, duplicando el primer dígito de la respuesta, lo que da usted 4. El segundo dígito debe ser igual al segundo dígito de su respuesta, para que también pueda encontrarlo ajustando, de modo que obtenga el número más cercano a 225. El número 5 se ajusta con mayor precisión, ya que 5x45 = 225.

Este proceso puede parecerte muy difícil y tendrás toda la razón. Es muy difícil calcular las raíces numéricas mediante el método aritmético, pero los resultados resultan útiles para varios cálculos.

Considere el siguiente ejemplo. ¿Qué es $ \ sqrt {2} $? ¿Qué número debe ser cuadrado para obtener 2?

Podemos determinar de inmediato que entre los enteros no hay tal número, porque 1 × 1 = 1, y 2x2 = 4. El primer número es demasiado pequeño, y el segundo es demasiado grande. Por lo tanto, la respuesta será un número fraccional.

Y puede incluso existir una raíz cuadrada en la forma. números fraccionarios ? Por que no Según nuestra definición de expresiones exponenciales, $ (1 \ frac25) ^ 2 $ es $ 1 \ frac25 \ veces 1 \ frac25 $, y la respuesta es el número $ 1 \ frac {24} {25} $. Y esto, a su vez, significa que $ \ sqrt {1 \ frac {24} {25}} $ es $ 1 \ frac {2} {5} $. Ahora estamos convencidos de que no solo la raíz cuadrada puede ser un número fraccional. Y en ambos casos las mismas reglas son verdaderas como en el caso de los enteros.

Además, resultó por casualidad que el número $ 1 \ frac {2} {5} $, multiplicado por sí mismo, da un resultado cercano a 2. De ello se deduce que $ 1 \ frac {2} {5} $ está cerca de $ \ sqrt {2} $. Solo $ \ frac {1} {25} $ nos separa de la respuesta deseada, ya que $ (1 \ frac {2} {5}) ^ 2 $ es $ 1 \ frac {24} {25} $, y necesitamos obtenga el número $ 1 \ frac {25} {25} $, es decir, 2.

Pero puedes obtener una respuesta más precisa. Si multiplicamos el número fraccionario $ 1 \ frac {41} {100} $ por nosotros mismos, obtendremos $ 1 \ frac {9881} {10000} $, que está mucho más cerca de 2. Puede parecer que si hacemos cálculos más precisos, estamos adelantados o más adelante encontraremos el valor exacto del número fraccional, que es la raíz cuadrada de 2, aunque puede ser un número muy complejo.

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