Quadratwurzel einer Zahl

Wir haben uns bereits klar gemacht, dass jede mathematische Handlung einer ähnlichen, aber entgegengesetzten Richtungshandlung entspricht.

Eine solche inverse Aktion ist zum Beispiel Subtraktion für Multiplikation - Division. Versuchen wir nun herauszufinden, welche Aktion für die Potenzierung das Gegenteil ist. Da die Potenzierung eine Mehrfachmultiplikation ist, ist die inverse Aktion offensichtlich eine Mehrfachdivision.

Zum Beispiel kann 32 durch 2 geteilt werden und 16 erhalten, dann 16 durch 2 geteilt und 8 erhalten; dann 8 geteilt durch 2 und 4 bekommen; dann 4 geteilt durch 2 und 2 erhalten; Schließlich wird dann 2 durch 2 geteilt und 1 wird erhalten. Kurz gesagt, diese Aktionen können als 32: 2: 2: 2: 2: 2: 2 = 1 geschrieben werden. (Unsere die aufgabe war auf 1 zu bekommen.) Da wir die Division 5 mal gemacht haben und auf 1 kamen, können wir sagen, dass 2 die fünfte Wurzel von 32 ist.

Wenn wir die Zahl 81 betrachten, sehen wir, dass 81: 3: 3: 3: 3 = 1, also 3 die Wurzel vierten Grades von 81 ist. (Warum eigentlich die Wurzel? Woher stammt dieses Wort? Dies kann auf diese Weise erklärt werden : Die Zahl 32 wächst von der Basis 2 und 81 von der Basis 3, so wie die Pflanze von den Wurzeln wächst.)

Eine solche mathematische Operation wird als $ \ sqrt {} $ bezeichnet. Die Anzahl der Wurzeln wird durch die Zahl im oberen linken Teil der Wurzel angegeben. Die Wurzel fünften Grades aus 32 kann also als $ \ sqrt [5] {32} $ geschrieben werden, die vierte Potenzwurzel aus 81 kann als $ \ sqrt [4] {81} $ geschrieben werden. Das Symbol $ \ sqrt {} $ wird als radikales Zeichen bezeichnet, und die Zahlen, die die Wurzeln enthalten, werden als Radikale bezeichnet . Das Wort "radikal" kam aus dem Lateinischen und bedeutet einfach "Wurzel".

Wir treffen selten auf Wurzeln mit hohen Graden, meistens haben wir es mit Operationen zu tun, die der Konstruktion eines zweiten Grades, also eines Quadrats, entgegengesetzt sind. Die Extraktion der Wurzel zweiten Grades wird als Quadratwurzelextraktion bezeichnet, und $ \ sqrt [2] {} $ wird als Quadratwurzel bezeichnet , und die beiden linken werden häufig weggelassen. In Zukunft wird unter dem Symbol $ \ sqrt {} $ ohne die Zahl in der oberen linken Ecke immer die Quadratwurzel gemeint sein.

Was ist die Quadratwurzel einer Zahl? 25 ist Quadrat 5, wir können also sagen, dass 5 die Quadratwurzel von 25 ist, oder $ \ sqrt {25} = 5 $. Daher sollte man sagen, dass "fünf die Wurzel zweiten Grades von 25 ist", aber der Begriff "Quadratwurzel" wird normalerweise verwendet. (Ebenso wird eine Wurzel dritten Grades als Kubikwurzel bezeichnet .)

Das nächste Problem besteht darin, herauszufinden, wie man die Wurzel dieser und jener bestimmten Zahl findet. Hier kann man vom Gegenteil ausgehen. Nehmen wir an, wir wissen, dass $ 2 ^ 5 = $ 32, was bedeutet, dass wenn 32 durch 2 mal durch 2 teilbar ist, das Ergebnis 1 ist. (Wenn wir eine Zahl bis zu einem gewissen Grad erhöhen, ist es nicht schwierig, in umgekehrter Reihenfolge vorzugehen.)

In der Praxis ist das arithmetische Verfahren zum Bestimmen der Wurzeln eine Reihe von Umkehraktionen. Versuchen wir, die Quadratwurzel von 625 zu extrahieren. Das Berechnungsschema lautet wie folgt:

Die erste Ziffer der Antwort, 2, erhalten wir eine Auswahl. Wir wissen, dass 2 × 2 = 4 ist, dies ist die nächstmögliche Zahl, weniger als 6, weil 3 × 3 = 9 ist, was mehr als 6 ist. Dann subtrahieren wir zwei Ziffern anstelle von einer, wie es bei der üblichen Einteilung in einen Balken üblich ist. (Wenn wir die Kubikwurzel extrahieren würden, würden wir drei Ziffern aushalten, im Fall einer vierten Wurzel vier Ziffern usw.) Um die nächste Ziffer zu erhalten, müssen Sie 225 durch 45 teilen. Sie erhalten 45, was die erste Ziffer der Antwort verdoppelt Sie 4. Die zweite Ziffer muss mit der zweiten Ziffer Ihrer Antwort übereinstimmen, damit Sie sie auch durch Anpassen finden können, sodass Sie die Zahl erhalten, die 225 am nächsten kommt. Die Zahl 5 passt am genauesten, da 5x45 = 225.

Dieser Prozess mag Ihnen sehr schwierig erscheinen, und Sie werden absolut recht haben. Es ist sehr schwierig, die Zahlenwurzeln mit der Rechenmethode zu berechnen, aber die Ergebnisse erweisen sich als nützlich für verschiedene Berechnungen.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Was ist $ \ sqrt {2} $? Welche Zahl sollte quadriert werden , um 2 zu erhalten?

Wir können sofort feststellen, dass es unter den ganzen Zahlen keine solche Zahl gibt, weil 1 × 1 = 1 und 2x2 = 4. Die erste Zahl ist zu klein und die zweite zu groß. Daher ist die Antwort eine Bruchzahl.

Und kann es überhaupt eine Quadratwurzel in der Form geben? Bruchzahlen ? Warum nicht Nach unserer Definition von Exponentialausdrücken ist $ (1 \ frac25) ^ 2 $ $ 1 \ frac25 \ mal 1 \ frac25 $, und die Antwort lautet $ 1 \ frac {24} {25} $. Dies bedeutet wiederum, dass $ \ sqrt {1 \ frac {24} {25}} $ $ 1 \ frac {2} {5} $ ist. Jetzt sind wir davon überzeugt, dass nicht nur die Quadratwurzel eine gebrochene Zahl sein kann. In beiden Fällen gelten dieselben Regeln wie für ganze Zahlen.

Außerdem stellte sich zufällig heraus, dass die Zahl $ 1 \ frac {2} {5} $, multipliziert mit sich selbst, ein Ergebnis nahe 2 ergibt. Daraus folgt, dass $ 1 \ frac {2} {5} $ nahe $ \ ist. sqrt {2} $. Nur $ \ frac {1} {25} $ trennt uns von der gewünschten Antwort, da $ (1 \ frac {2} {5}) ^ 2 $ $ 1 \ frac {24} {25} $ ist und wir brauchen Erhalte die Zahl $ 1 \ frac {25} {25} $, das heißt, 2.

Aber Sie können eine genauere Antwort bekommen. Wenn wir die gebrochene Zahl $ 1 \ frac {41} {100} $ mit uns selbst multiplizieren, erhalten wir $ 1 \ frac {9881} {10000} $, was viel näher an 2 liegt oder später finden wir den genauen Wert der Bruchzahl, die die Quadratwurzel von 2 ist, obwohl es eine sehr komplexe Zahl sein kann.

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