МОЯ ТВОРЧЕСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ

          " Каждая цивилизация в определенном возрасте имеет возможность возвысить, или разрушить себя. Если делается выбор в пользу возвышения, то возникает импульс, позволяющий появиться учениям об утерянных законах сущего".    ( Высший разум, ченнелинг).      
                                                                            М.И. Беляев ©

Позиционные системы счисления. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Опубликовано: 06.09.2018

 

comp-science.narod.ru ==> Дидактические материалы по информатике ==> Системы счисления

 

(из сборника " Введение в информатику. Лабораторные работы.

/ Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь, 1999. (Ч. I — 56 с.)
")

 

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления . Если количество таких цифр равно P , то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = anPn + an -1 Pn -1 + ... + a 1 P1 + a 0P 0 + a -1 P-1 + ... + a-mP-m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P  > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P . Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P .

 

Примеры решения задач

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94 232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88 116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76 58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52 а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04 14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08 7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16 3 | 1 2 | 0 1 | 1 1 | 1

а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10)  »  1110011,11110(2) (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

  P   2   00   01   10   11 
4 0 1 2 3

  P   2   000   001   010   011   100   101   110   111 
8 0 1 2 3 4 5 6 7

  P   2   0000   0001   0010   0011   0100   0101   0110   0111   1000   1001   1010   1011   1100   1101   1110   1111 
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Переведем из двоичной системы в восьмеричную число 1111010101,11(2).

001 111 010 101,110(2) = 1725,6(8).

Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).

0011 1101 0101,1100(2) = 3D5,C(16).
Соответствие между шестнадцатеричными цифрами и десятичными числами 16 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

Некоторые неотрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536
Некоторые отрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125

а) 1000001(2).

1000001(2)=1 × 26+0 × 25+0 × 24+0 × 23+0 × 22+ 0 × 21+1 × 20 = 64+1=65(10).

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101(2).

1000011111,0101(2)=1 × 29 + 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2-2 + 1 × 2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10).
Некоторые неотрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень
0 1 2 3 4
1 8 64 512 4096
Некоторые отрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень
-1 -2
0,125 0,015625

в) 1216,04(8).

1216,04(8)=1 × 83+2 × 82+1 × 81+6 × 80+4 × 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625(10).
Некоторые неотрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень
0 1 2 3 4
1 16 256 4096 65536
Некоторые отрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления) Показатель Степень
-1 -2
0,0625 0,00390625

г) 29A,5(16).

29A,5(16) = 2 × 162+9 × 161+10 × 160+5 × 16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125(10).

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.

  +     0     1  
0 0 1
1 1 10
    
   ´     0     1  
0 0 0
1 0 1
 +   0   1   2   3   4   5   6   7 
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 3 4 5 6 7 10 11
3 3 4 5 6 7 10 11 12
4 4 5 6 7 10 11 12 13
5 5 6 7 10 11 12 13 14
6 6 7 10 11 12 13 14 15
7 7 10 11 12 13 14 15 16
    
   ´    0   1   2   3   4   5   6   7 
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 10 12 14 16
3 0 3 6 11 14 17 22 25
4 0 4 10 14 20 24 30 34
5 0 5 12 17 24 31 36 43
6 0 6 14 22 30 36 44 52
7 0 7 16 25 34 43 52 61

 +   0  1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C
E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
  F     F    10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   1A   1B   1C   1D   1E 
    
   ´   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E
3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D
4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C
5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B
6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A
7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69
8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78
9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87
A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96
B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5
C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4
D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3
E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2
  F     0     F    1E   2D   3C   4B   5A   69   78   87   96   A5   B4   C3   D2   E1 

3. Сложить числа:

а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).

б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).

в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).

10000000100 223,2 3B3,6 + 111000010 + 427,54 +38B,4 ------------ ------- ----- 10111000110 652,74 73E,A

 

Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.

 

а) 10000000100(2)=1 × 210+1 × 22 = 1024+4=1028(10)

111000010(2)=1 × 28+ 1 × 27+ 1 × 26+ 1 × 21 =  256+128+64+2 = 450(10)

10111000110(2)=1 × 210+ 1 × 28+ 1 × 27+ 1 × 26+ 1 × 22+ 1 × 21 =  1024+256+128+64+4+2 = 1478(10)

1028(10)+450(10) = 1478(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно!

 

б) 223,2(8)=2 × 82+ 2 × 81+ 3 × 80+ 2 × 8-1 =  128+16+3+0,25 = 147,25(10)

427,54(8)= 4 × 82+ 2 × 81+ 7 × 80+ 5 × 8-1+ 4 × 8-2 =  256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875(10)

652,74(8)= 6 × 82+ 5 × 81+ 2 × 80+ 7 × 8-1+ 4 × 8-2 =  384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375(10)

147,25(10)+279,6875(10) = 426,9375(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно!

 

в) 3B3,6(16)= 3 × 162+ 11 × 161+ 3 × 160+ 6 × 16-1 =  768+176+3+0,375 = 947,375(10)

38B,4(16)= 3 × 162+ 8 × 161+ 11 × 160+ 4 × 16-1 =  768+128+11+0,25 = 907,25(10)

73E,A(16)= 7 × 82+ 3 × 81+ 14 × 80+ 10 × 8-1 =  1792+48+14+0,625 = 1854,625(10)

947,375(10)+907,25(10) = 1854,625(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно!

 

4. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).

б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).

в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).

1100000011,011 1510,2 27D,D8 - 101010111,1 -1230,54 -191,2 -------------- ------- ------ 110101011,111 257,44 EC,B8

5. Выполнить умножение:

а) 100111(2) ´   1000111(2) = 101011010001(2).

б) 1170,64(8) ´   46,3(8) = 57334,134(8).

в) 61,A(16) ´   40,D(16) = 18B7,52(16).

100111 1170,64 61,A *1000111 * 46,3 *40,D ------------- -------------- ---------- 100111 355 234 4F 52 + 100111 + 7324 70 + 1868 100111 47432 0 ---------- 100111 ------------- 18B7,52 ------------- 57334,134 101011010001

6. Выполнить деление:

а) 100110010011000(2) : 101011(2)=111001000(2);

б) 46230(8) : 53(8)=710(8);

в) 4C98(16) : 2B(16)=1C8(16).

Калькулятор для работы в системах счисления с основаниями 2-36

История систем счисления

Представление числовой информации в памяти ЭВМ

Задачи по позиционным системам счисления

Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления. Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной? Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)? Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)? Преобразуйте следующие десятичные числа в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128. Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101. Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015. Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

 

[Заглавная страница] [Олимпиады по программированию] [Подготовка к олимпиадам] [Дидактические материалы по информатике]

[Дидактические материалы по математике] [Методическая копилка] [Ресурсы Интернет] [Об авторе]

 

 

© А.П. Шестаков , 1999-2009 Сайт создан в системе uCoz

Где купить автомобильный держатель iphone 4

К сожалению, в свое время я не получил никакого образования - закончил 9 классов и все. Поэтому мне не оставалось ничего, как найти работу без образования, и устроился таксистом. Сразу же мне понадобился

Тур по Украине

В последнее время, люди выезжая отдыхать в отпусках, стараются не просто полежать в комфортной гостинице, или на теплом песке, а как можно сильнее слиться с природой, ощутить ее дух и набраться ее

Где купить бленду для фотоаппарата

Я себе заказывал здесь бленду вот для фотоаппарата, заказывал бленду EW-60C для Canon EF-S 18-55mm f/3. 5-5. 6, материал у нее пластик,

Суши 1 кг за 500
Что же такое суши? Прежде всего суши — это образец чистоты и свежести вкуса — сегодня популярны во всем мире. Это и закуска, и основное блюдо званного обеда, и превосходное угощение для « шведского стола»

Пузырчатая пленка
Воздушно-пузырьковая пленка является дешевым и достаточно эффективным способом утеплить окна на зиму, однако, хотя она и пропускает свет, но видимость из окна становится размытой. Воздушно-пузырьковая

Права на лодку
Если вы стали счастливым обладателем лодки (или же планируете им стать), не спешите сразу же спускать её на воду и отправляться в плавание. Во избежание неприятностей с инспекторами ГИМС, которые патрулируют

Пхукет на карте
Туризм в наше время и в нашей стране весьма развит и популярен. Разумеется, что несмотря на глубокие знания наших современников в области географии, нередко возникает вопрос, например, где находится

Охрана труда обучение
Динамика современного мира весьма заметна в экономических отношениях и в постоянных изменениях законодательной базы, регулирующие данную сферу. Поэтому ответственным специалистам необходимо постоянно

Программа обучения по охране труда руководителей и специалистов
В эпоху новых технологий и  сложных производственных систем, когда на внутриорганизационные отношения воздействуют колебания мировой экономики, требования потребителей и  трудовые соглашения,

Программа обучения по охране труда специалистов
Мы не устаем повторять, что у каждой компании в каждый момент времени имеется всего одно серьезное ограничение, которое не позволяет ей развиваться. Всегда нужно начинать именно с нахождения этого ограничения.

    © Беляев М.И., "МИЛОГИЯ"
           Сайт ЯВЛЯЕТСЯ ТВОРЧЕСКОЙ МАСТЕРСКОЙ АВТОРА, открытой для всех посетителей. Убедительная просьба сообщать  о всех замеченных ошибках, некорректных формулировках.
          Книги " Основы милогии ", " Милогия " могут  быть высланы в Ваш адрес наложенным платежом,
e-mail: [email protected]   
rss