Pierwiastek kwadratowy z liczby

Zrozumieliśmy już, że każde działanie matematyczne odpowiada podobnemu, ale przeciwnemu w działaniu kierunkowym.

Dla dodania, takie działanie odwrotne jest odejmowaniem, dla mnożenia - dzielenia. Spróbujmy teraz dowiedzieć się, która akcja jest odwrotna do potęgowania. Ponieważ potęgowanie jest mnożeniem wielokrotnym, to oczywiście działanie odwrotne będzie działaniem wielokrotnym.

Na przykład 32 można podzielić przez 2 i uzyskać 16, następnie 16 podzielone przez 2 i uzyskać 8; następnie 8 podzielone przez 2 i otrzymaj 4; następnie 4 podzielone przez 2 i otrzymaj 2; w końcu 2 dzieli się przez 2 i 1. W skrócie, akcje te można zapisać jako 32: 2: 2: 2: 2: 2 = 1. (Nasz zadanie było dostać się do 1.) Ponieważ zrobiliśmy podział 5 razy i osiągnęliśmy 1, możemy powiedzieć, że 2 jest piątym korzeniem 32.

Jeśli weźmiemy pod uwagę liczbę 81, widzimy, że 81: 3: 3: 3: 3 = 1, więc 3 to pierwiastek czwartego stopnia 81. (Dlaczego właściwie to korzeń? Skąd pochodzi to słowo? Można to wyjaśnić w ten sposób : liczba 32 rośnie od podstawy 2, a 81 rośnie od podstawy 3, gdy roślina wyrasta z korzeni.)

Taka operacja matematyczna oznaczona jest jako $ sqrt {} $. Liczba korzeni jest wskazywana przez liczbę w lewej górnej części katalogu głównego. Zatem piąty root z 32 może być zapisany jako $ sqrt [5] {32} $, czwarty root z 81 może być zapisany jako $ sqrt [4] {81} $. Ikona $ sqrt {} $ nazywana jest znakiem radykalnym, a liczby zawierające korzenie nazywane są rodnikami . Słowo „radykalny” pochodzi z łaciny, gdzie oznacza po prostu „korzeń”.

Rzadko spotykamy się z korzeniami wysokich stopni, najczęściej mamy do czynienia z operacjami odwrotnymi do konstrukcji drugiego stopnia, czyli kwadratu. Wyodrębnienie korzenia drugiego stopnia nazywane jest ekstrakcją pierwiastka kwadratowego, a $ sqrt [2] {} $ nazywane jest pierwiastkiem kwadratowym , a dwa po lewej często są pomijane. W przyszłości, pod ikoną $ sqrt {} $ bez numeru w lewym górnym rogu, zawsze będziemy oznaczać pierwiastek kwadratowy.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z liczby? 25 to kwadrat 5, więc możemy powiedzieć, że 5 to pierwiastek kwadratowy z 25 lub $ sqrt {25} = 5 $. Dlatego należy powiedzieć „pięć to korzeń drugiego stopnia 25”, ale zwykle używany jest termin „pierwiastek kwadratowy”. (Podobnie, korzeń trzeciego stopnia nazywany jest korzeniem sześciennym .)

Następnym problemem jest ustalenie, w jaki sposób znaleźć korzeń takiej i takiej pewnej liczby. Tutaj możesz przejść od przeciwnego. Załóżmy, że wiemy, że 2 ^ 5 = 32 $, co oznacza, że ​​jeśli 32 jest podzielne przez 2 razy przez 2, wynikiem jest 1. (Jeśli podniesiemy liczbę do pewnego stopnia, nie jest trudno przejść w odwrotnej kolejności).

W praktyce metoda arytmetyczna określania pierwiastków jest serią działań odwrotnych. Spróbujmy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z 625. Schemat obliczeń będzie następujący:

Pierwsza cyfra odpowiedzi, 2, otrzymujemy wybór. Wiemy, że 2 × 2 = 4, jest to najbliższa możliwa liczba, mniejsza niż 6, ponieważ 3 × 3 = 9, czyli więcej niż 6. Następnie odejmujemy i umieszczamy dwie cyfry zamiast jednej, jak zwykle w zwykłym podziale na pasek. (Jeśli wyodrębnilibyśmy korzeń sześcianu, wytrzymalibyśmy trzy cyfry, w przypadku czwartego korzenia głównego, cztery cyfry itd.) Aby uzyskać następną cyfrę, należy podzielić 225 przez 45. Otrzymujesz 45, podwajając pierwszą cyfrę odpowiedzi, co daje ty 4. Druga cyfra musi być równa drugiej cyfrze twojej odpowiedzi, więc możesz ją także znaleźć dopasowując, aby uzyskać liczbę najbliższą 225. Liczba 5 pasuje najbardziej dokładnie, ponieważ 5x45 = 225.

Ten proces może wydawać się bardzo trudny i masz całkowitą rację. Bardzo trudno jest obliczyć liczbę pierwiastków za pomocą metody arytmetycznej, ale wyniki są przydatne do różnych obliczeń.

Rozważmy następujący przykład. Co to jest $ sqrt {2} $? Jaka liczba powinna być podniesiona do kwadratu, aby uzyskać 2?

Możemy natychmiast stwierdzić, że wśród liczb całkowitych nie ma takiej liczby, ponieważ 1 × 1 = 1 i 2x2 = 4. Pierwsza liczba jest za mała, a druga za duża. Dlatego odpowiedź będzie liczbą ułamkową.

I czy istnieje nawet pierwiastek kwadratowy w formie ułamkowe liczby ? Dlaczego nie? Zgodnie z naszą definicją wyrażeń wykładniczych, $ (1 frac25) ^ 2 $ jest $ 1 frac25 razy 1 frac25 $, a odpowiedzią jest liczba $ 1 frac {24} {25} $. A to z kolei oznacza, że ​​$ sqrt {1 frac {24} {25}} $ to 1 $ frac {2} {5} $. Teraz jesteśmy przekonani, że nie tylko pierwiastek kwadratowy może być liczbą ułamkową. W obu przypadkach te same zasady są prawdziwe, jak w przypadku liczb całkowitych.

Dodatkowo okazało się przypadkiem, że liczba $ 1 frac {2} {5} $, pomnożona przez siebie, daje wynik bliski 2. Wynika z tego, że 1 $ frac {2} {5} $ jest bliski $ sqrt {2} $. Tylko $ frac {1} {25} $ oddziela nas od pożądanej odpowiedzi, ponieważ $ (1 frac {2} {5}) ^ 2 $ to 1 $ frac {24} {25} $, a my potrzebujemy zdobądź liczbę $ 1 frac {25} {25} $, czyli 2.

Ale możesz uzyskać dokładniejszą odpowiedź. Jeśli pomnożymy przez siebie liczbę ułamkową 1 frak {41} {100} $, otrzymamy 1 $ frac {9881} {10000} $, czyli znacznie bliżej 2. Może się wydawać, że jeśli dokonamy dokładniejszych obliczeń, jesteśmy wcześnie lub później znajdziemy dokładną wartość liczby ułamkowej, która jest pierwiastkiem kwadratowym z 2, chociaż może to być liczba bardzo złożona.

Materiały na ten temat:

Udostępnij znajomym: