Математика и фокусы

1. Математика в цирке
2. Чтение мыслей - угадываем задуманное число
3. Разница любого натурального числа и суммы его цифр всегда делится на 9
4. Если число делится на 9, сумма его цифр также делится на 9
5. Отгадываем результат вычислений
6. Битва экстрасенсов
7. Знание математических фокусов поможет не попадать в сети мошенников

Для всех остальных слова "математика" и "фокусы" в одном предложении могут показаться диковинкой - но математику таки можно применять во всех областях, в том числе и в развлечениях. Математические фокусы очень удобны для детского праздника, научного фестиваля, необычного урока - можно обойтись без сложного оборудования и спецэффектов. Но сам фокусник должен уметь хорошо считать в уме (какие необычные способности нужны) и знать несколько математических правил и закономерностей - признаки делимости, в том числе на 7 и 11 несколько приемов быстрых расчетов и несложную табличку для определения дней недели.

Математика в цирке

Математические фокусы могут быть очень зрелищными - если на сцену выходит настоящий мастер.

Фокус Дэвида Копперфилда "Цирковой поезд"

К большому доски прикреплены карточки с изображениями различных вагонов циркового поезда, которые стоят на трех соседних путях. Фокусник приглашает одного из зрителей выбрать один из 4 вагонов - "Медведи", "Гимнасты и фокусники", "Львы", или "Слоны". Двигаться в таблице можно куда угодно на 1 шаг влево, вправо, вверх или вниз - но нельзя двигаться по диагонали.

Шаг 1 - сделайте 4 перемещения. Вы не можете оказаться в буфете, поэтому уберите эту карточку.
Шаг 2 - сделайте 5 перемещений. Вы не можете оказаться в вагоне слонов, поэтому уберите эту карточку
Шаг 3 - сделайте 2 перемещения. Вы не можете оказаться в вагоне львов, поэтому уберите эту карточку
Шаг 4 - сделайте 3 перемещения. Вы не можете оказаться в вагоне с шатром или в служебном вагоне, поэтому уберите эти карточки
Шаг 5 - сделайте 3 перемещения. Многие из вас только что были в вагоне с медведями - потому уберите эту карточку.
Шаг 6 - сделайте 1 перемещения.

Фокусник не видел, где вы начали движение и куда вы перемещались - но теперь он торжественно объявляет, что вы оказались в вагоне гимнастов и фокусников!

Арифметические фокусы умеют показывать животные выступающих в цирке или развлекают друзей хозяина. Но это - лишь умение животных правильно реагировать на незаметны для зрителей сигналы хозяина или дрессировщика. Собаки-математики лают определенное количество раз - до сигнала, лошади - стучат копытом, дельфины получают мяч с нужным числом.

Эстрадные мастера быстрых расчетов когда-то были очень популярны - но сейчас это уже не очень интересно - сложно проверить, что такой человек не имеет в ухе незаметного наушника. Есть много приемов, позволяющих быстро считать устно - но поговорим об истинных математические фокусы. Здесь нет ни одного обмана, никаких иллюзий - только знание математических правил и закономерностей.

Далее мы опишем несколько известных и новых фокусов - и несколько интересных математических фактов, на основе которых можно разработать собственные новые фокусы.

Чтение мыслей - угадываем задуманное число

Общий принцип этой группы фокусов - просим кого-то задумать число и выполнить с ним определенные операции и сообщить нам результат. Операций много - но мы их подбираем таким образом, чтобы простым вычислением получить задуманное число (или дату рождения, или возраст человека).

Например, просим одного из зрителей (возраста которого вы не знаете, но это более 6 лет и менее 100):

1. Задумайте натуральное число (не очень большое - чтобы вы и зритель могли быстро проводить расчеты)
2. Умножьте это число на 2.
3. К полученному числу прибавьте 5.
4. Умножьте сумму на 50.
5. Если в этом году у вас уже был день рождения добавьте 1760, если еще нет - 1759.
6. Из полученного числа отнимите ваш год рождения и назовите что у вас получилось.

С названного результата легко найти возраст зрителя и задуманное число.

Две последние цифры - возраст зрителя на эту же дату в 2010 году, и, добавив 6 можно легко определить возраст сейчас. Если отбросить эти две последние цифры - получаем задуманное число.
Ни обмана, только немного знания алгебры.
Обозначим задуманное число (мы его еще не знаем) через икс (т.е. x).

Расчеты, которые выполняет зритель:

2x
2x + 5
(2x + 5) '50

Если был день рождения, получаем

(2x + 5) '50 + 1760 = 100x + 2010

Если день рождения в этом году еще не было - получаем 100х + 2009

Зритель вычитал от полученного числа год рождения и получил 100x + свой возраст на эту же дату в 2010 году. Возраст нашего зрителя в 2010 году это одно- или двузначное число, и число, которое мы получаем, если отбросить две последние цифры это x, то есть задуманное число. Конечно, можно в 2016 году просить добавлять 1766 или 1765 и получить две последние цифры, равные возраста зрителя - но лучше сохранить чуть больше интриги и не делать результат слишком очевидным.

Параметры фокуса можно менять в зависимости от года, возраст в котором мы определяем. Параметр 1760 = 2010 (нужен год) - 5ь50

антураж фокусов

Чтобы сделать фокус более зрелищным (и не дать возможности зрителю попробовать вас обмануть и сказать что он задумал другое число) - попросите написать задуманное число на бумаге, не показывая вам, и положить в коробку.

Затем откроете коробку и продемонстрируете записано число - вы "угадали" правильно!

Успех фокусов зависит от правильности расчетов, которые будут выполнять выбранные зрители. Если зритель ошибется в своих расчетах - вы не угадаете задуманное число или дату рождения, и фокус не получится. А в глазах зрителей виновными будете вы - вы же взялись угадывать! Поэтому лучше иметь доску, на которой выбрана в зале "жертва" будет выполнять расчеты - чтобы их видели другие зрители и контролировали правильность. Конечно, фокусник не имеет видеть эту доску.

Вариация фокуса - просим умножить задуманное число на 4, добавляем 5 и умножаем сумму на 50 - дальше повторяем те же операции в зависимости от дня рождения. Опять предполагаем, что наш зритель моложе 100 лет, поэтому его возраст это двузначное число, и число, которое мы получаем, если отбросить две последние цифры это 2x, то есть двойное задуманное число. Здесь следует ограничить число, которое мы позволяем задумать - чтобы вы легко могли запомнить двойное число и разделить его устно на 2. Если зритель точно старший например 16 лет - можно просить добавлять 1750 или 1749 (в зависимости от того, был уже в этом году день рождения) - чтобы получить его возраст в 2000 году. Нет проблем с определением отрицательное значение возраста в каком году (это количество лет в том году до рождения человека) - но это немного усложнит расчеты.

Общий принцип фокусов этого типа - выполняем определенные операции с задуманным числом и возрастом, таким образом, чтобы из двух последних цифр можно было получить возраст, с других цифр - задуманное число.

В интернете есть много описаний фокусов такого типа - но будьте внимательны, в описаниях часто не указывается, для какого именно года подходят параметры фокуса.

Если мы знаем возраст зрителя и нет никакого смысла его угадывать - тогда предлагаем угадать только задуманное число, или также предлагаем загадать возраст другого человека (до 100 лет).

Еще одна вариация фокуса - "угадываем" дату рождения (например, в формате числа, первая цифра или две первые цифры которого это день, а две последние цифры - номер месяца). Зритель должен сначала умножить дату рождения на 2, добавить к полученному числу 5, умножить результат на 50, добавить месяц рождения и сказать окончательный результат. Если вычесть 250 от этого числа - полученное трехзначное или четырехзначное число сразу дает нам дату и месяц рождения зрителя. Мы добавляем к первому результату умножения 5 для того, чтобы сделать результат, который нам сообщит зритель, менее очевидным. Здесь мы можем изменять параметры фокуса: просим умножить дату например на 6, добавить к полученному числу 15 умножить результат на 50, добавить месяц рождения и сказать окончательный результат. Теперь, для того чтобы получить дату (первые две цифры) и месяц (последние две цифры) - мы имеем разделить окончательный результат на 3 и вычесть 250.

Разница любого натурального числа и суммы его цифр всегда делится на 9

На этом принципе основаны очень много математических фокусов - для некоторых кроме математики нужно также немного тренировки.

Даем зрителю коробку со спичками, отворачиваемся или закрываем глаза. Просим зрителя оставить в коробке какую-то часть спичек (более 10) и спрятать другие. Спички в коробке надо посчитать и снова выбросить определенное количество спичек, равной сумме цифр того количества спичек, которую зритель оставил в коробке.

Теперь пожаловать рассыпать на столе те спички оставшихся - и теперь мы сможем их мгновенно "посчитать" - правда, к этому придется научиться быстро на глаз определять 9, 18, 27, 36, 45, 63 и так далее спичек (числа, кратные 9 ).

Если число делится на 9, сумма его цифр также делится на 9

зачеркнута цифра

Просим зрителя задумать число (например, 4-значное - хотя ограничения количества знаков зависит от вашей способности считать в уме), умножить его на 9, зачеркнуть в нем одну цифру кроме 0 или 9 и назвать сумму других цифр. Знание того факта, что сумма всех цифр вместе с вычеркнутой имеет делиться на 9, позволит легко определить вычеркнуты цифру - она ​​равна разности названного вам числа и ближайшего большего числа, которое делится на 9.

Например, зритель задумал число 6283, посчитал, что 6283ь9 = 56547 и вычеркнул цифру 5. Сумма цифр оставшихся равна 22 ближайшее большее число, которое делится на 9 - это 27, значит, вычеркнута цифра 27-22 = 5 .

Если бы мы позволили вычеркивать цифры 0 или 9 - сумма цифр, которые остались, все равно делилась бы на 9, и мы не смогли бы определить, какая из этих цифр была вычеркнута. Фокус будет более зрелищным, если мы не будем просить не вычеркивать 0 и девятый заготовьте табличку с сотни 3-4 значных чисел на выбор - таких, чтобы результаты их умножения на 9 не содержали цифр 0 и 9.

Этот фокус можно совместить с предыдущим - можно вычеркивать цифры не из какого числа, умноженного на 9, а с разницы числа и суммы его цифр (эта разница всегда делится на 9).

Для подобного фокуса можно использовать признак деления на 11 - но тут придется попросить у зрителей две попытки на угадывание зачеркнутой цифры. Этот фокус будет более интересным, так как о признаке деления на 11 аудитория обычно никогда не слышала. Число делится на 11, если разница сумм его цифр "через одну" делится на 11.

Например, число с цифрами a bc de fh g делится на одиннадцать, если разница суммы красных и суммы черных цифр делится на 11.

Просим вычеркнуть первую или последнюю цифры, чтобы сохранились "цвета" цифр, которые остались. Пусть, например, зритель вычеркнет цифру 4 - тогда остатком от деления разницы сумм цифр "через одну" будет 4 или 11-4 = 7. Для такого остатка первой можно назвать цифру 7 или 4, если не угадали - тогда другая цифра из этой пары. Для остатка 2 и 9 - вычеркнута цифра 2 или 9, для остатка 3 и 8 - вычеркнута цифра 3 или 8, для остатка 5 и 6 - вычеркнута цифра 5 или 6. Для остатков 1 и 10 вариант только один - вычеркнута единица, если разница суммы цифр делится на 11 - вычеркнута может быть только цифра 0. Зрелищность фокуса придадут небольшие призы зрителю, что ведет расчеты, если фокусник не угадал правильную цифру с первого раза.

Отгадываем результат вычислений

В фокусах этой группы мы просим задумать какое-то число и провести с ним вычисления. Основной принцип - полученный результат предложенных зрителям вычислений вы будете знать заранее, и он не будет зависеть от задуманных участниками чисел.

Совсем простой детский фокус - просим загадать число от 1 до 20 (обозначим через x), и умножить это число на 3.
Зрители должны получить 3x. Затем просим добавить к 3x 24 разделить полученный результат на 3 и вычесть из него задуманное число.
Теперь легко угадать, что получат зрители: (3x + 24): 3 = 8. Угадали!

Немного сложнее фокус - подойдет для аудитории третьеклассников и для взрослых.

Просим задумать трехзначное число - такое чтобы вторая цифра была меньше первой, а третья меньше второй. Алгебраический запись такого числа: 100a + 10b + c.

С задуманного числа вычитаем "перевернутое" число 100c + 10b + a. "Переворачиваем" результат и добавляем его к ранее полученной разницы.
А теперь "угадываем" полученную сумму - это 1089.

Например, нашим условиям соответствует задуманное число 432.

Зрители выполняют вычисления:

432-234 = 198
198 + 891 действительно равна 1089.

Это легко доказать -
100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 100 (ac) + ca = 100 (ac-1) +90 + (10 + ca).

Полученный результат всегда

100 (ac-1) +90 + (10 + ca) плюс перевернутое число 100 (10 + ca) +90 + (ac-1) =
= 900 + 180 + 9 = 1089

Фокус можно сделать более зрелищным - если еще до начала задумування зрителями числа положить в конверт листок с числом

1089

и после всех расчетов показать результат угадывания!

Битва экстрасенсов

Этот тип фокусов учитывает и малоизвестные за пределами сообщества любителей математики правила, и психологические закономерности. Здесь мы не гарантируем 100% угадывание - только большую вероятность.

Например, можно сделать список из нескольких сотен 4-5 значных чисел (в списке должно быть достаточно много цифр чтобы вы не могли их запомнить), которые являются квадратами натуральных чисел (конечно, этого говорить не надо), и попросить зрителей выписать на доске (процесс выписывания вы не видите) 10-20 чисел из этого списка, и зритель должен также написать среди них несколько произвольных придуманных им чисел - и потом вы угадать, какие числа написал сам зритель. Очень вероятно, что он напишет числа, то отличаются от цифр из списка - например, с другими последними цифрами (а квадраты натуральных чисел могут иметь последними цифрами лишь 0,1, 4, 5, 6 и 9 - но не 2, не 3 , не 7 и не 8, если последняя цифра 5 - тогда последние две цифры квадрата должны быть только 25, если последняя цифра 0 - две последние цифры квадрата должны быть нулями, если число делится на 3 и не делится на 9 - оно не будет квадратом ; если последняя цифра четная, чтобы число могло быть квадратом - число из двух последних цифр имеет делиться на четвёртом т.д.) - то есть подавляющее большинство не квадратов, выписанных человеком, который не знает секрета, выделить будет достаточно просто - и для обычного зрителя это будет выглядеть как "телепатическое" угадывания.

Знание математических фокусов поможет не попадать в сети мошенников

Знание математических фокусов и признаков делимости много раз помогало мне остановить желающих меня обмануть. Если все цены делятся на 5, а продавец называет сумму, которая на 5 не делится - это несколько не то, и можно сразу требовать перерасчета. Когда в начале 90-х годов, когда зарплату в моем институте не платили и приходилось зарабатывать переводами, знания признаки делимости на 3 помогло убедить работодателей, что они не заплатили мне за всю работу. Бизнесмены пытались доказать, что уже уплаченная сумма за 35 страниц (многозначное число инфляционных время) и является оплатой за всю работу по 123 страниц. Я быстро вслух посчитала сумму цифр числа, и сказала что это не может быть оплатой за 123 страницы потому что не делится на 3. Шокированный такими аргументами работодатель быстро выплатил остаток суммы.

Приемы, похожие на описанные фокусы, часто используют организаторы различных мошеннических лотерей и конкурсов. Например, объявляют "призовые акции", где якобы выигрывают люди, для которых в расчете на основе их даты рождения получается определенное число - хотя на самом деле это же число получается для любой даты, и мошенники лишь имитируют "лотерею".

Например, в 2014 году одна мошенническая фирма проводила "розыгрыш" 279000 гривен для людей, для которых число

(Год рождения - 154 (якобы номер лотереи) + возраст в 2014 году) '150 = 279000

Однако, год рождения + возраст в 2014 году = 2014,

и всегда (2014-154) '150 = 279000 - то есть "выигрыш" только имитируется для того, чтобы заставить людей купить какую-то ненужную вещь для того, чтобы "выиграть" значительную сумму (которую конечно никто не получит).

Где можно прочитать о математических фокусы:

• Мартин Гарднер "Математические чудеса и тайны"
• Яков Перельман "Живая математика"
• Борис Кордемський "Математическая смекалка"