диаграмма Венна

1. Связь диаграмм Эйлера и Венна [ ред. | ред. код ]
2. Диаграммы Венна для большего количества множеств [ ред. | ред. код ]

Диаграмма Венна ( англ. Venn diagram) - диаграмма , Показывающий все возможные логические отношения для конечного набора множеств .

Диаграммы Венна придуманы примерно в 1880 Венн . [1] Используются для изучения элементарной теории множеств И иллюстрирования простых соотношений в теории вероятностей , логике , статистике , языкознании и информатике .

Кроме диаграмм Венна, для изображения множеств используют также круга Эйлера . Круги Эйлера используются для изображения всех возможных отношений между различными множествами, в том числе и таких когда одна множество содержит другую или вообще отсутствуют пересечения множеств. Диаграмма Венна изображает, все возможные пересечения множеств. Всего таких пересечений будет 2 n {\ displaystyle 2 ^ {n}} , Где n - количество множеств. Для трех множеств диаграмма Венна обычно изображается в виде трех кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, примерно равным длине стороны треугольника.

Этот пример включает две множества А и В, представленные здесь как цветные круги. Оранжевый круг, заданный А, представляет всех живых существ, которые имеют две ноги. Синий круг, набор B, представляет живых существ, которые могут летать. Каждый отдельный тип существа можно представить как точку, где-то на диаграмме. Живые существа, которые и могут летать, и имеют две ноги (например, попугаи), находятся в обоих кругах, поэтому они соответствуют точкам области, где синяя и оранжевые круги пересекаются. В этой области содержатся все такие и только такие живые существа.

Люди и пингвины являются двуногие, и поэтому они находятся в оранжевом круге, но поскольку они не могут летать, они появляются в левой части оранжевого круга, где оно не пересекается синим кругом. Комары имеют шесть ног, и летают, поэтому точка для комаров находится в части синего круга, который не пересекается с оранжевым. Существа, которые не имеют две ноги и не могут летать (например, киты и пауки), будут представлены точками за пределами обоих кругов.

Комбинированная область наборов A и B называется объединением A и B, сказывается A ∪ B. Объединение в этом случае содержит всех живых существ, которые являются или двуногими, или могут летать (или и то, и другое).

Область в обоих А и В, где оба набора пересекаются, называется сечением А и В, сказывается A ∩ B. Например, пересечение двух множеств не пустой, потому что есть точки, которые представляют существа, которые находятся в обоих кругах.

Диаграмма Венна построена как набор простых замкнутых кривых, нарисованных в плоскости. Принцип этих диаграмм заключается в том, что классы [или наборы] могут быть представлены регионами в таком отношении друг с другом, что все возможные логические связи этих классов могут быть указаны на той же диаграмме. То есть диаграмма сначала оставляет пространство для любого возможного отношения классов, а затем фактическое или заданное соотношение может быть указано, указывая, что определенная область является нулевой или ненулевой

Диаграммы Венна обычно содержат круги, пересекаются. Внутренность круга символически представляет элементы множества, а внешняя часть - элементы, которые не являются членами множества. Например, в двухуровневой диаграмме Венна один круг может представлять группу всех деревянных объектов, тогда как другой круг может представлять набор всех столов. Совместная область или пересечение отображать множество всех деревянных столов. Формы, кроме круга, могут использоваться, как показано ниже, собственными высшими наборами диаграмм Венна. Диаграммы Венна вообще не содержат информации об относительных или абсолютных величинах ( мощность ) Множеств; то есть они представляют собой схематические диаграммы.

Диаграммы Венна аналогичные диаграммам Эйлера. Однако диаграмма Венна для n-компонентных наборов должна содержать все 2 n {\ displaystyle 2 ^ {n}} гипотетически возможных зон, соответствующих определенной комбинации включения или выключения в каждом из наборов компонентов. Эйлеру диаграммы содержат только фактически возможные зоны в данном контексте. В диаграммах Венна тени зона может представлять собой пустую зону, тогда как на диаграмме Эйлера отсутствует соответствующая зона. Например, если один набор представляет молочные продукты и другие сыры, диаграмма Венна содержит зону для сыров, которые не являются молочными продуктами. Предполагая, что в контексте сыра значит какой-то тип молочного продукта, диаграмма Эйлера имеет зону сыра, полностью содержится в зоне молочного продукта, нет зоны для (несуществующего) немолочного сыра. Это означает, что при увеличении количества контуров диаграммы Эйлера, как правило, менее визуально сложные, чем эквивалентная диаграмма Венна, особенно если количество непустых сечений невелика.

Связь диаграмм Эйлера и Венна [ ред. | ред. код ]

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом еще до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Лейбниц (1646-1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом все же предпочитал использовать линейные схемы.

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841-1902) в книге «Алгебра логики». Особого расцвета графические методы достигли в произведениях английского логика Джона Венна (1843-1923), который подробно изложил их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера - Венна.

диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Эйлера - Венна изображают отношения между множествами: непересекающихся подмножества изображены незаурядными кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграмма Венна основаны на существенно иной идеи, чем круга Эйлера [2] . Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля . Диграмы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституанты возникла на основе алгебры логики [2] .

На рис. ниже показаны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• A = {1, 2, 5} {\ displaystyle A = \ {1, \ 2, \, 5 \}}
• B = {1, 6} {\ displaystyle B = \ {1, \ 6 \}}
• C = {4, 7} {\ displaystyle C = \ {4, \ 7 \}}

• диаграммы Эйлера

• диаграммы Венна

Диаграммы Венна для большего количества множеств [ ред. | ред. код ]

Обычно диаграммы Венна представляют две или три множества. Для большего количества множеств приходится жертвовать симметрией изображение.

• Диаграмма Венна для 4-х множеств.

• Диаграмма Венна для 5 множеств.

• Диаграмма Венна для 6 множеств.

• Диаграмма Венна для 4-х множеств образована с помощью эллипсов.

• Контрпример: Эта диаграмма Эйлера НЕ БУДЕТ диаграммой Венна для 4-х множеств, потому что она содержит только 13 областей, не считая внешнюю. Отсутствуют область в которых только желтый и голубой, и часть в которой только розовый и зеленый.

• Диаграмма Венна для 5 множеств образована эллипсы, созданная Бранко Грюнбаум . Каждая часть подписано.

• Диаграмма Венна для 6 множеств образована исключительно треугольниками.

1. ↑ Venn, J. (July 1880). On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings. Philosophical Magazine and Journal of Science. 10 май (59).
2. ↑ а б Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применение. - Москва: Наука, 1968. - 249 с.